Λόγος να γίνεται

KARKAR · #1

: Λόγος να γίνεται.png (9.25 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

$\bigstar$ Από σημείο

, στο εξωτερικό κύκλου (O)

, φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και την τέμνουσα

SMP

, στην οποία το

είναι μέσο . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{TP}{TM}$ είναι ανεξάρτητος της θέσης του

.

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 10, 2024 8:06 pm Από σημείο , στο εξωτερικό κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και την τέμνουσα , στην οποία το είναι μέσο . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{TP}{TM}$ είναι ανεξάρτητος της θέσης του .

Η άρση του hide μετά την επόμενη ανάρτηση.

Ελπίζοντας στο μη λάθος (καθότι προχωρημένο της ώρας και επί του πιεστηρίου).

$\displaystyle{\frac{{TP}}{{TM}} = \frac{{T{S^2}}}{{ST \cdot SM}} = \frac{{2S{M^2}}}{{TS \cdot SM}} = 2\frac{{SM}}{{TS}} = 2\frac{{TM}}{{TP}} \Rightarrow \frac{{TP}}{{TM}} = \sqrt 2 .}$

edit:
Άρση της απόκρυψης μετά από την πανέμορφη λύση του Νίκου.

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 10, 2024 8:06 pm Λόγος να γίνεται.png $\bigstar$ Από σημείο , στο εξωτερικό κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και την τέμνουσα

, στην οποία το είναι μέσο . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{TP}{TM}$ είναι ανεξάρτητος της θέσης του .

Για κάθε τρίγωνο, TPM

εγγεγραμμένο σε κύκλο αν φέρω την εφαπτομένη του κύκλου στο

και κόψει την ευθεία

στο

ισχύει :

$\dfrac{{T{P^2}}}{{T{M^2}}} = \dfrac{{SP}}{{SM}}\,\,\,\left( 1 \right)$ . Η

είναι η εξωτερική T -

συμμετροδιάμεσος του τριγώνου TPM

.

: Λόγος να γίνεται.png (14.09 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

Η απόδειξη γίνεται από την ομοιότητα των τριγώνων , $TPS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MTS$ . Συγκεκριμένα : $\dfrac{{TP}}{{MT}} = \dfrac{{PS}}{{TS}} = \dfrac{{TS}}{{MS}} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{TP}}{{MT}} = \dfrac{{PS}}{{TS}} \hfill \\ \dfrac{{TP}}{{MT}} = \dfrac{{TS}}{{MS}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Πολλαπλασιάζω κατά μέλη κι έχω αυτή που θέλω .

Τώρα στη συγκεκριμένη άσκηση αν θέσω : PM = MS = d

θα προκύψει : $\dfrac{{T{P^2}}}{{T{M^2}}} = \dfrac{{2d}}{d} = 2 \Rightarrow \boxed{\dfrac{{TP}}{{TM}} = \sqrt 2 }$

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 10, 2024 8:06 pm Λόγος να γίνεται.png $\bigstar$ Από σημείο , στο εξωτερικό κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και την τέμνουσα

, στην οποία το είναι μέσο . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{TP}{TM}$ είναι ανεξάρτητος της θέσης του .

: Λόγος να γίνεται.png (12.13 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές

Από Θ. διαμέσων, $\displaystyle T{M^2} = \frac{{2T{P^2} + 2T{S^2} - S{P^2}}}{4} = \frac{{2T{P^2} + 2SM \cdot SP - S{P^2}}}{4} = \frac{{2T{P^2}}}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{TP}{TM}=\sqrt 2}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 10, 2024 8:06 pm Λόγος να γίνεται.png $\bigstar$ Από σημείο , στο εξωτερικό κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και την τέμνουσα

, στην οποία το είναι μέσο . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{TP}{TM}$ είναι ανεξάρτητος της θέσης του .

Στο σχήμα που ακολουθεί,είναι $SL//TM \Rightarrow PT=TL=m$ και SL=2n

Λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών,η

εφάπτεται του κύκλου (P,T,S)

.Άρα

$4n^2=2m^2 \Rightarrow \dfrac{m}{n}= \sqrt{2}$

: Λόγος να γίνεται.png (16.53 KiB) Προβλήθηκε 541 φορές

Λόγος να γίνεται

Λόγος να γίνεται

Re: Λόγος να γίνεται

Re: Λόγος να γίνεται

Re: Λόγος να γίνεται

Re: Λόγος να γίνεται

Μέλη σε σύνδεση