Τετράγωνο εφαπτομένης 2

KARKAR · #1

: Τετράγωνο εφαπτομένης 2.png (11.48 KiB) Προβλήθηκε 963 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου

, προς το

οποίο φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα

και ονομάσαμε

του μέσο του

.

Αν : BC=2BM

, υπολογίστε την : $\tan^2 B$ .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 19, 2024 2:07 pm Τετράγωνο εφαπτομένης 2.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου , προς το

οποίο φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα και ονομάσαμε του μέσο του .

Αν : , υπολογίστε την : $\tan^2 B$ .

Ας είναι λυμένο το πρόβλημα και

το μέσο της

. Τότε οι κύκλοι : $\left( {B,BM} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {A\,\,,\,\,B\,\,,\,\,C} \right)$ με διάκεντρο την

, είναι ίσοι.

Έτσι αν τέμνονται στα $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ , το τετράπλευρο PBFN

είναι ρόμβος με την μικρή διαγώνιο ίση με την πλευρά .

$\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}}$ γιατί η

είναι συμμετροδιάμεσος στο $\vartriangle BSA$ . Συνεπώς $\widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {{a_2}} + \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_3}}$

: Τετράγωνο εφαπτομένης δύο.png (39.29 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές

Έτσι τα $\vartriangle ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle SBM$ είναι όμοια , οπότε: $\dfrac{{AB}}{{SB}} = \dfrac{{BC}}{{BM}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{2OB}}{{SB}} = 2 \Rightarrow \boxed{OB = SB}$ συνεπώς το $\vartriangle SOB$ είναι ισόπλευρο.

Εύκολα μετά έχω ότι και το $\vartriangle CAS$ είναι ισόπλευρο .

Έχω : $OC = 2OA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = OA\sqrt 3$ . $\tan \theta = \tan \left( {{a_1} + {a_3}} \right) = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \boxed{{{\tan }^2}\theta = \dfrac{3}{4}}$ .

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 19, 2024 2:07 pm Τετράγωνο εφαπτομένης 2.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου , προς το

οποίο φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα και ονομάσαμε του μέσο του .

Αν : , υπολογίστε την : $\tan^2 B$ .

Θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο

ABS

Θέτω

$u=\dfrac{b^{2}}{R^{2}},$

Από μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα

$OAC,ASB,OM=\dfrac{R^{2}}{OC},(2),SB^{2}=4OM^{2},(1), SB^{2}=\dfrac{4R^{2}}{4R^{2}+b^{2}},(3) ,AS^{2}=4R^{2}-SB^{2}(4), (1),(2),(3),(4)\Rightarrow 12R^{2}=b^{2}(u+1) \Rightarrow u=3, tan^{2}B=\dfrac{3}{4}$

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 19, 2024 2:07 pm Τετράγωνο εφαπτομένης 2.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου , προς το

οποίο φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα και ονομάσαμε του μέσο του .

Αν : , υπολογίστε την : $\tan^2 B$ .

: Τετράγωνο εφαπτομένης.png (26.41 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές

S.E.Louridas · #5

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 19, 2024 2:07 pm Στο ορθογώνιο τρίγωνο , γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου , προς το
οποίο φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα και ονομάσαμε του μέσο του . Αν : , υπολογίστε την : $\tan^2 B$ .

Για μία καλημέρα στον Θανάση, τον Νίκο και τον Γιάννη:

Τα τρίγωνα AOC, SAB

είναι όμοια και αν

είναι το μέσο της AC,

τότε

με τις

να είναι οι ομόλογοι διάμεσοι

και που αυτό οδηγεί στην ισότητα των τριγώνων $\displaystyle{AOC, SAB$ οπότε $OC=2R\;(1)$ (

είναι η ακτίνα του κύκλου (O)).}

Τελικά παίρνουμε: $\displaystyle{\theta =\angle CBA \Rightarrow {\tan ^2}\theta = \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{3{R^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{3}{4}.}$

: xxzzaa.png (19.71 KiB) Προβλήθηκε 835 φορές

Παρατήρηση: Η σχέση (1)

οδηγεί στην γεωμετρική κατασκευή του σχήματος.

#6

S.E.Louridas έγραψε: Σάβ Ιούλ 20, 2024 11:20 am
KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 19, 2024 2:07 pm Στο ορθογώνιο τρίγωνο , γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου , προς το
οποίο φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα και ονομάσαμε του μέσο του . Αν : , υπολογίστε την : $\tan^2 B$ .
Για μία καλημέρα στον Θανάση, τον Νίκο και τον Γιάννη:

Τα τρίγωνα είναι όμοια και αν είναι το μέσο της τότε με τις να είναι οι ομόλογοι διάμεσοι

και που αυτό οδηγεί στην ισότητα των τριγώνων $\displaystyle{AOC, SAB$ οπότε $OC=2R\;(1)$ ( είναι η ακτίνα του κύκλου

Τελικά παίρνουμε: $\displaystyle{{\tan ^2}\theta = \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{3{R^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{3}{4}.}$ xxzzaa.png

Παρατήρηση: Η σχέση οδηγεί στην γεωμετρική κατασκευή του σχήματος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 19, 2024 2:07 pm Τετράγωνο εφαπτομένης 2.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου , προς το

οποίο φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα και ονομάσαμε του μέσο του .

Αν : , υπολογίστε την : $\tan^2 B$ .

Είναι $BC^2=4BM^2=b^2+c^2\Rightarrow MB^2= \dfrac{b^2+c^2}{4}$ , $OM^2= \dfrac{BS^2}{4}$ και AS^2=c^2-BS^2

Με εφαρμογή θ.διαμέσου στο τρίγωνο AMB

παίρνουμε εύκολα $BS= \dfrac{b \sqrt{3} }{3}$

Στον κύκλο (C,b)

η

είναι εφαπτομένη του και προφανώς D,S,B

συνευθειακά με $BD= \sqrt{4b^2+c^2}$

$c^2=BS.BD= \dfrac{b \sqrt{3} }{3}. \sqrt{4b^2+c^2}$ και με $x= \dfrac{b}{c}$ εύκολα καταλήγουμε στην εξίσωση 4x^4+x^2-3=0

$\Leftrightarrow 4x^4-4+x^2+1=0 \Leftrightarrow (x^2+1)(4x^2-3)=0 \Rightarrow tan^2 \theta =x^2= \dfrac{3}{4}$

: τετράγωνο εφαπτομένης 2.png (47.97 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές

#8

Με την καλημέρα μου σε όλους τους καλούς φίλους.
Αν

είναι το μέσο της

και

το συμμετρικό του

ως προς

, τα τρίγωνα MCC', MAB

είναι ορθογωνίως όμοια καθώς έχουν κάθετες διαμέσους και δύο ομόλογες πλευρές κάθετες. Άρα και το AMBC'

είναι εγγράψιμο. Καθώς όμως $MB=\frac{BC'}{2}$ , η γωνία $\angle{MC'B}$ όπως και οι $\angle{MAB}$ και $\angle{MCC}$ είναι ίσες με 30^0

.
Επομένως ο λόγος των AN, AC

είναι γνωστός, οπότε καταλήγουμε στο $tan^2 {B}=\frac{3}{4}$

Τετράγωνο εφαπτομένης 2

Τετράγωνο εφαπτομένης 2

Re: Τετράγωνο εφαπτομένης 2

Re: Τετράγωνο εφαπτομένης 2

Re: Τετράγωνο εφαπτομένης 2

Re: Τετράγωνο εφαπτομένης 2

Re: Τετράγωνο εφαπτομένης 2

Re: Τετράγωνο εφαπτομένης 2

Re: Τετράγωνο εφαπτομένης 2

Μέλη σε σύνδεση