Ισοσκελές τραπέζιο, ισόπλευρο τρίγωνο και λόγος.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 347.png (13.39 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές

Το τετράπλευρο ABCD

του σχήματος είναι ισοσκελές τραπέζιο με AD=BC

και το τρίγωνο BNM

ισόπλευρο. Ενώνω το σημείο

με το

.
Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Παρ Σεπ 13, 2024 6:53 pm 347.png

Το τετράπλευρο του σχήματος είναι ισοσκελές τραπέζιο με
και το τρίγωνο ισόπλευρο. Ενώνω το σημείο με το .
Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ .

Από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ANB$ έχω : $B{N^2} = A{N^2} + A{B^2} - 2AN \cdot AB\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)$ και άρα $a = 2\left( {\sqrt 6 - 1} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Τώρα πάλι από το ίδιο τρίγωνο $\cos {\theta _1} = \dfrac{{52 - {a^2}}}{{48}}\,\,\,\left( 2 \right)$ . Αλλά , $\cos {\theta _2} = \dfrac{{117 - {b^2}}}{{108}}\,\,\,\left( 3 \right)$ . Όμως ${\theta _1} + {\omega _1} = 60^\circ = {\theta _2} + {\omega _1} \Rightarrow {\theta _1} = {\theta _2}$ .

: ισοσκελές τραπέζιο ισοσκελές τρίγωνο λόγος.png (26.98 KiB) Προβλήθηκε 382 φορές

Έτσι από τις $\left( 2 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ έχω : $\dfrac{{52 - {a^2}}}{{45}} = \dfrac{{117 - {b^2}}}{{108}}$ που λόγω της $\left( 1 \right)$ προκύπτει : $b = 3\left( {\sqrt 6 - 1} \right)$ και συνεπώς $\boxed{\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{3}}$

Παρατήρηση : Αν μετά απ’ αυτά εφαρμόσω ( πάλι) στο $\vartriangle MBC$ Θ. συνημίτονου ( ως προς την γωνία $\widehat {CMB}$ )

αυτή θα βρεθεί $120^\circ$ και κατ’ συνέπεια τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Ιστοσελίδα · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Παρ Σεπ 13, 2024 6:53 pm Το τετράπλευρο του σχήματος είναι ισοσκελές τραπέζιο με
και το τρίγωνο ισόπλευρο. Ενώνω το σημείο με το .
Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ .

: shape.png (17.73 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές

Τα τρίγωνα $ANB,\,MBC$ είναι όμοια γιατί $\dfrac{{AN}}{{NB}} = \dfrac{{MB}}{{BC}} = \dfrac{2}{3}$ και οι περιεχόμενες γωνίες ίσες με $\omega$ .

Έτσι, ο ζητούμενος λόγος $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{3}$ .

Υ.Γ. Από την ομοιότητα προκύπτει $\angle BMC = {120^ \circ }$ , οπότε τα σημεία είναι συνευθειακά.

Ισοσκελές τραπέζιο, ισόπλευρο τρίγωνο και λόγος.

Ισοσκελές τραπέζιο, ισόπλευρο τρίγωνο και λόγος.

Re: Ισοσκελές τραπέζιο, ισόπλευρο τρίγωνο και λόγος.

Re: Ισοσκελές τραπέζιο, ισόπλευρο τρίγωνο και λόγος.

Μέλη σε σύνδεση