Από τον απλό λόγο στον καλό

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους!

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

το

είναι το ύψος προς την υποτείνουσα

.

Θεωρούμε το $H \in CD$ ώστε HC=3HD

και το $E \in AD$ ώστε AE=7ED

.

Φέρουμε από το

την κάθετη προς την

, που τέμνει την

στο

: 20-2 Απλός φέρνει τον καλό!.png (333.74 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές

Αν ισχύει $\dfrac{MC}{BM}=4+\sqrt{5}$ τότε: Να υπολογιστεί η . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Ιστοσελίδα · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Φεβ 20, 2025 12:29 am Καλημέρα σε όλους!

Σε ορθογώνιο τρίγωνο το είναι το ύψος προς την υποτείνουσα .

Θεωρούμε το $H \in CD$ ώστε και το $E \in AD$ ώστε .

Φέρουμε από το την κάθετη προς την , που τέμνει την στο

Αν ισχύει $\dfrac{MC}{BM}=4+\sqrt{5}$ τότε: Να υπολογιστεί η . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα.

: shape.png (15.46 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές

Θέτω $DH = x,\,DE = k$ , οπότε από υπόθεση: $CH = 3x,\,AE = 7k$ .

Από $\triangle MDE \sim \triangle ADH \Rightarrow MD = \dfrac{{8{k^2}}}{x}$ και από υπόθεση $BM = \dfrac{{\dfrac{{8{k^2}}}{x} + 4x}}{{4 + \sqrt 5 }}$ .

Από $\dfrac{{CD}}{{DA}} = \tan \omega = \dfrac{{AD}}{{BD}}$ και αρκετές πράξεις, καταλήγουμε ότι $\tan \omega = \dfrac{{\sqrt {2(3 + \sqrt 5 )} }}{2} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \phi$ .

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Φεβ 20, 2025 12:29 am Καλημέρα σε όλους!

Σε ορθογώνιο τρίγωνο το είναι το ύψος προς την υποτείνουσα .

Θεωρούμε το $H \in CD$ ώστε και το $E \in AD$ ώστε .

Φέρουμε από το την κάθετη προς την , που τέμνει την στο
20-2 Απλός φέρνει τον καλό!.png

Αν ισχύει $\dfrac{MC}{BM}=4+\sqrt{5}$ τότε: Να υπολογιστεί η . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα!

$\displaystyle \tan \omega = \frac{b}{c} = \frac{{AD}}{{BD}}$ (1)

: Απ' το απλό στο καλό.png (14.25 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές

$\displaystyle \omega = D\widehat AC \Leftrightarrow \tan \omega = \frac{{DC}}{{AD}} = \frac{{4DH}}{{8DE}} = \frac{{AD}}{{2MD}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} BM = MD$

$\displaystyle 4 + \sqrt 5 = \frac{{MC}}{{MB}} = \frac{{\frac{{BD}}{2} + DC}}{{\frac{{BD}}{2}}} \Leftrightarrow 3 + \sqrt 5 = \frac{{2DC}}{{BD}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \omega=\phi}$

Από τον απλό λόγο στον καλό

Από τον απλό λόγο στον καλό

Re: Από τον απλό λόγο στον καλό

Re: Από τον απλό λόγο στον καλό

Μέλη σε σύνδεση