Τρίγωνο ισεμβαδικό με ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Τρίγωνο ισεμβαδικό με ορθογώνιο.png (10.78 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές

$\bigstar$ Το τρίγωνο ABC

και το ορθογώνιο BCDE

, έχουν την ίδια βάση και οι AB , AC

, τέμνουν

την

στα σημεία S , P

. Σχεδιάστε το ορθογώνιο έτσι , ώστε να είναι : (ASP)=(BCDE)

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 04, 2026 6:07 pm $\bigstar$ Το τρίγωνο και το ορθογώνιο , έχουν την ίδια βάση και οι , τέμνουν

την στα σημεία . Σχεδιάστε το ορθογώνιο έτσι , ώστε να είναι : .

Καλησπέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ορθογώνιο και τρίγωνο 2.png (24.61 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές

Από τη σχέση:

$\displaystyle{(BEDC)=(ASP) \ \ (1) }$

προκύπτει:

$\displaystyle{(SZ)(BC)=\frac{1}{2}(SP)(AH) \ \ (2) }$

κι ακόμα

$\displaystyle{2\frac{SZ}{AH}=\frac{SP}{BC} \Rightarrow 2\frac{x}{c-x}=\frac{SP}{a} \ \ (3) }$

Όμως :

$\displaystyle{ \frac{SP}{a}=\frac{c-x}{c} \ \ (4) }$

Τελικά από τις (3) και (4) προκύπτει η εξίσωση:

$\displaystyle{x^2-4cx+c^2=0 \ \ (5) }$

Η εξίσωση (5) έχει λύσεις:

$\displaystyle{x_1=(2-\sqrt{3})c<c \ \ (6) }$

$\displaystyle{x_2=(2+\sqrt{3})c>c \ \ (7) }$

Δεκτή είναι προφανώς η πρώτη η οποία και κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη.

Σύμφωνα με αυτή κατασκευάστηκε και το ανωτέρω σχήμα.

Κώστας Δόρτσιος

#3

Καλησπέρα σε όλους. Μετά την όμορφη γεωμετρική λύση του αγαπητού Κώστα, ας δώσουμε και μια "Καρτεσιανή" παραλλαγή της, με πιο απλά, αλλά χρήσιμα στους μαθητές μας εργαλεία.

: 05-2-2026 Γεωμετρία.png (12.57 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές

Παίρνουμε

και τρίγωνο ABC

με ύψος

.

Έστω ότι κατασκευάσαμε το σχήμα. Η ισότητα (ASP) = (BCDE)

ισχύει για οποιαδήποτε θέση του

στην παράλληλη από αυτό προς τον οριζόντιο άξονα. Επιλέγουμε να είναι το

στον άξονα y'y

, οπότε το

ταυτίζεται με το

.

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων επιλέγουμε B(0,0), C(c,0), D(c,a), E(0,a), A(0,b)

με

.

Είναι $\displaystyle AC:y = - \frac{b}{c}x + b$ , οπότε για y=a

είναι $\displaystyle P\left( {\frac{{b - a}}{b} \cdot c,a} \right)$ .

$\displaystyle \left( {AEP} \right) = \left( {BCDE} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left( {b - a} \right) \cdot \frac{{b - a}}{b} \cdot c}}{2} = a \cdot c \Leftrightarrow {\left( {b - a} \right)^2} = 2ab \Leftrightarrow {a^2} - 4ba + {b^2} = 0$ που δίνει $\displaystyle a = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)b$ , αφού πρέπει b>a

.

Αν, είναι

η βάση του τριγώνου και

το ύψος του τριγώνου, τότε το ύψος του ορθογωνίου είναι $\displaystyle b = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)a$ , κατασκευάσιμο.

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 04, 2026 6:07 pm $\bigstar$ Το τρίγωνο και το ορθογώνιο , έχουν την ίδια βάση και οι , τέμνουν

την στα σημεία . Σχεδιάστε το ορθογώνιο έτσι , ώστε να είναι : .

Καλημέρα...
Και μια άλλη αντιμετώπιση...

Εργαζόμαστε στο ακόλοθο σχήμα:

: Ορθογώνιο και τρίγωνο 3 .png (34.65 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές

Προφανώς είναι:

$\displaystyle{(BCDE)=(BCMS) \ \ (1) }$

Κι ακόμα:

$\displaystyle{(BCMS)=(E_2)+(E_3) \ \ (2)}$

Έστω επίσης:

$\displaystyle{(ASP)=(E_1) \ \ (3) }$

Τότε θα είναι:

$\displaystyle{\frac{E_1+E_2}{E_1}=(\frac{b}{b-x})^2 \Rightarrow E_2=(\frac{b}{b-x})^2E_1-E_1 \ \ (4)}$

Όμοια:

$\displaystyle{\frac{E_3}{E_1}=(\frac{x}{b-x})^2 \Rightarrow E_3=(\frac{x}{b-x})^2E_1 \ \ (5)}$

Από τις (4) και (5) η σχέση (1) γίνεται:

$\displaystyle{E_1=E_2+E_3=(\frac{b}{b-x})^2E_1-E_1+(\frac{x}{b-x})^2E_1 \Rightarrow (\frac{b}{b-x})^2+(\frac{x}{b-x})^2=2 \ \ (6) }$

Η εξίσωση (6) πιο απλά γράφεται:

$\displaystyle{x^2+b^2-4bx=0}$

η οποία έχει δεκτή λύση την

$\displaystyle{x=(2-\sqrt{3})b<b }$

σύμφωνα με την οποία κατασκευάστηκε και το ανωτέρω σχήμα.

Κώστας Δόρτσιος

Τρίγωνο ισεμβαδικό με ορθογώνιο

Τρίγωνο ισεμβαδικό με ορθογώνιο

Re: Τρίγωνο ισεμβαδικό με ορθογώνιο

Re: Τρίγωνο ισεμβαδικό με ορθογώνιο

Re: Τρίγωνο ισεμβαδικό με ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση