Γεωμέτρηση εμβαδού και γωνίας

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.

Το τρίγωνο ABC

έχει

AB=10 , AC=16

. Στην διάμεσο

θεωρούμε το σημείο

ώστε

3AS=10SM

: 3-11 Γωνία-εμβαδόν.png (27.25 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές

Το $P \in BC$ ώστε $SP \parallel AB$ και

η τομή των

BS,AP

. Ο κύκλος των

(E,B,A)

τέμνει την

και στο

Αν είναι

3AN=4BN

τότε : Να υπολογιστεί το εμβαδόν $(BAN)$ και η γωνία $\widehat C$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Νοέμ 03, 2026 10:07 am Χαιρετώ.

Το τρίγωνο έχει $AB=10 , AC=16$ . Στην διάμεσο θεωρούμε το σημείο ώστε $3AS=10SM$
3-11 Γωνία-εμβαδόν.png

Το $P \in BC$ ώστε $SP \parallel AB$ και η τομή των $BS,AP$ . Ο κύκλος των $(E,B,A)$ τέμνει την και στο

Αν είναι $3AN=4BN$ τότε : Να υπολογιστεί το εμβαδόν $(BAN)$ και η γωνία $\widehat C$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Στο τραπέζιο ABPS

η ευθεία που διέρχεται από το σημείο τομής των μη παράλληλων πλευρών και το σημείο

τομής των διαγωνίων, διέρχεται και από τα μέσα των βάσεων. Άρα

είναι μέσο του

και

MK=\dfrac{16}{2}=8.

: Γεωμέτρηση εμβαδού γωνίας.png (20.73 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές

Από

\rm Van

\rm Aubel

είναι

\dfrac{{ME}}{{EK}} = \dfrac{{MP}}{{PB}} + \dfrac{{MS}}{{SA}} = \dfrac{3}{{10}} + \dfrac{3}{{10}} = \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow EK = 5,

άρα

A\widehat EB=90^\circ=A\widehat NB.

Με Π.Θ ,

100 = A{N^2} + \dfrac{{9A{N^2}}}{{16}} \Leftrightarrow AN = 8,BN = 6

και

\boxed{(BAN)=24}

Εύκολα τώρα, αφού

AN=8=\dfrac{AC}{2}

θα είναι $\boxed{\widehat C=30^\circ}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Νοέμ 03, 2026 10:07 am Χαιρετώ.

Το τρίγωνο έχει $AB=10 , AC=16$ . Στην διάμεσο θεωρούμε το σημείο ώστε $3AS=10SM$
3-11 Γωνία-εμβαδόν.png

Το $P \in BC$ ώστε $SP \parallel AB$ και η τομή των $BS,AP$ . Ο κύκλος των $(E,B,A)$ τέμνει την και στο

Αν είναι $3AN=4BN$ τότε : Να υπολογιστεί το εμβαδόν $(BAN)$ και η γωνία $\widehat C$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

\dfrac{MS}{SA} =\dfrac{3}{10} \Rightarrow \dfrac{MS}{MA}= \dfrac{3}{13}

.Ακόμη

\dfrac{AS}{AM}= \dfrac{10}{13}

SP//AB \Rightarrow \dfrac{MP}{MB}= \dfrac{MS}{MA}= \dfrac{3}{13} \Rightarrow \dfrac{MP}{MC} =\dfrac{3}{13} \Rightarrow \dfrac{MP}{PC}= \dfrac{3}{16}

Με

μέσον της

και Μενέλαο στο

\triangle APM

με διατέμνουσα SEB

έχουμε

\dfrac{PE}{EA} . \dfrac{AS}{SM}. \dfrac{BM}{BP}=1 \Rightarrow \dfrac{PE}{EA} . \dfrac{AS}{SM}. \dfrac{AM}{AS} \Rightarrow \dfrac{PE}{EA} . \dfrac{10}{3} . \dfrac{13}{10} \Rightarrow \dfrac{PE}{EA}= \dfrac{3}{13} = \dfrac{PM}{MC}

Επομένως

EM//AC

και με

μέσον της

είναι

MQ//AC

άρα

M,E,Q

συνευθειακά με

MQ=\dfrac{16}{2}=8

Ακόμη

EM//AC\Rightarrow \dfrac{EM}{16} = \dfrac{MP}{PC}= \dfrac{3}{16} \Rightarrow EM=3 \Rightarrow QE=8-3=5= \dfrac{AB}{2} \Rightarrow AE \bot BE

Επειδή

\dfrac{AN}{NB}= \dfrac{4}{3}

,με

AN=4k

και

BN=3k

και Π.Θ στο

\triangle ANB \Rightarrow k=2 \Rightarrow AN=8,BN=6 \Rightarrow (ABN)=24

AC=2AN=16

άρα $\angle C=30^0$

: Γεωμέτρηση εμβαδού και γωνίας.png (45.92 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #4

Ευχαριστώ (*) θερμά τους Γιώργο και Μιχάλη !

Συνοπτικά, μια ακόμη λύση:

: Eμβαδόν..png (22.23 KiB) Προβλήθηκε 34 φορές

Στο τρίγωνο MAC

με διατέμνουσα BSH

ο Μενέλαος δίνει

AH/HC=10/16

άρα

AH=10=AB

Από την παραλληλία παίρνουμε

BP/PM=10/3

έπεται

BP/PC=10/16=AB/AC

δηλ η

είναι διχοτόμος στο ισοσκελές ABH

οπότε

A \widehat EB =90^o

, κλειδί για την συνέχεια που έχει βεβαίως καλυφθεί!

(*)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Γεωμέτρηση εμβαδού και γωνίας

Γεωμέτρηση εμβαδού και γωνίας

Re: Γεωμέτρηση εμβαδού και γωνίας

Re: Γεωμέτρηση εμβαδού και γωνίας

Re: Γεωμέτρηση εμβαδού και γωνίας

Μέλη σε σύνδεση