Πρόταση Ι21 των κωνικών του Απολλώνιου

Al.Koutsouridis · #1

Παρακάτω προτύνεται προς λύση η πρόταση 21 του πρώτου βιβλίου των κωνικών του Απολλώνιου.

: protash_Ι21.png (21.42 KiB) Προβλήθηκε 1757 φορές

Έστω έλλειψη με άξονες AB, CD

και

τυχαίο σημείο αυτής.

α) Έστω

το ίχνος της καθέτου από το

προς το άξονα

. Να αποδείξετε ότι ο λόγος
$\displaystyle{ \frac{MN^2}{AN \cdot NB} }$ είναι σταθερός και ανεξάρτητος της επιλογής του

.

β) Αν A{'}B{'}, C{'}D{'}

δυο συζυγείς (*) διάμετροι της έλλειψης και N{'}

(σημείο της A{'}B{'}

) το ίχνος της παράλληλης
από το

προς την διάμετρο C{'}D{'}

. Να αποδείξετε ότι ο λόγος $\displaystyle{ \frac{MN{'}^2}{A{'}N{'} \cdot N{'}B{'}} }$ είναι σταθερός και ανεξάρτητος της επιλογής του

. Είναι φανερό ότι το ερώτημα (α) είναι υποπερίπτωση του (β).

(*) Δυο διάμετροι ονομάζονται συζυγείς αν η μία διχοτομεί όλες τις παράλληλες χορδές προς την άλλη. Παρακαλώ διορθώστε με αν δεν είναι σωστή η ορολογία.

STOPJOHN · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:Παρακάτω προτύνεται προς λύση η πρόταση 21 του πρώτου βιβλίου των κωνικών του Απολλώνιου.

Το συνημμένο protash_Ι21.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Έστω έλλειψη με άξονες και τυχαίο σημείο αυτής.

α) Έστω το ίχνος της καθέτου από το προς το άξονα . Να αποδείξετε ότι ο λόγος
$\displaystyle{ \frac{MN^2}{AN \cdot NB} }$ είναι σταθερός και ανεξάρτητος της επιλογής του .

β) Αν δυο συζυγείς (*) διάμετροι της έλλειψης και (σημείο της ) το ίχνος της παράλληλης
από το προς την διάμετρο . Να αποδείξετε ότι ο λόγος $\displaystyle{ \frac{MN{'}^2}{A{'}N{'} \cdot N{'}B{'}} }$ είναι σταθερός και ανεξάρτητος της επιλογής του . Είναι φανερό ότι το ερώτημα (α) είναι υποπερίπτωση του (β).

(*) Δυο διάμετροι ονομάζονται συζυγείς αν η μία διχοτομεί όλες τις παράλληλες χορδές προς την άλλη. Παρακαλώ διορθώστε με αν δεν είναι σωστή η ορολογία.

Kαλημέρα και Χρόνια Πολλά

Για το πρώτο ερώτημα

Κατασκευάζουμε τον κύκλο με διάμετρο

και κέντρο το σημείο

Aν το σημείο

ανήκει στον κύκλο και $PMN\perp AB$ Τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο

$APB,\hat{APB}=90^{0},PN^{2}=AN.NB,(1)$

Συνεπώς η αποδεικτέα σχέση μετασχηματίζεται $\dfrac{MN^{2}}{AN.NB}=\dfrac{MN^{2}}{PN^{2}}=(\dfrac{MN} {PN})^{2},(2)$

Θεωρώντας τις συντεταγμένες των σημείων

$M(x_{1},y_{1}),P(x_{1},y_{2}),N(x_{1},0),B(a,0),C(0,b) \dfrac{MN^{2}}{PN^{2}}=\dfrac{y_{1}^{2}}{y_{2}^{2}}=\dfrac{y_{1}^{2}}{a^{2}-x_{1}^{2}},(*) y_{1}^{2}=b^{2}.\dfrac{a^{2}-x_{1}^{2}}{a^{2}},(**) (*),(**)\Rightarrow \dfrac{MN^{2}}{PN^{2}}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}$

Σχολιο

Δεν έχω βρεί λύση ,ακόμη ,για το δευτερο ερώτημα . Το υπολογιστικό μέρος με την Αναλυτική Γεωμετρία οδηγεί σε αδιέξοδο,σίγουρα χειάζεται η βοήθεια της Ευκλείδειας Γεωμετρίας . Στα προβλήματα αυτού του είδους φαίνεται και η ισχύς της Γεωμετρίας που δίνουν λύση ,όταν η Καρτεσιανή μεθοδολογία δεν προχωράει ....

Φιλικά
Γιάννης

#3

Θεωρούμε ένα κύκλο (υπάρχει τέτοιος) του οποίου η προβολή στο επίπεδο της έλλειψης είναι η έλλειψη. Τα σημεία X_1

του επιπέδου του κύκλου θα προβάλλονται στα

του επιπέδου της έλλειψης.

Η διάμετρος $A_1{'}B_1{'}$ του κύκλου προβάλλεται στην διάμετρο A'B'

της έλλειψης και η ( μισή.. χορδή

)

προβάλλεται στη MN'

. Το

είναι, προφανώς, μέσο της χορδής που ορίζεται από την ευθεία M_1N_1'

και τον κύκλο, αφού το

είναι μέσο της αντίστοιχης χορδής της έλλειψης, επομένως η M_1N_1'

είναι κάθετη στην A_1'B_1'

Η γωνία

των ευθειών A_1'B_1', A'B'

είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος. Η γωνία

των ευθειών M_1N_1', MN'

είναι σταθερή κατά μέγεθος, αφού όταν το

μεταβάλλεται οι πλευρές της διατηρούν σταθερή την διεύθυνσή τους (πλευρές παράλληλες).

Στο ορθογώνιο τρίγωνο A_1'M_1B_1'

το

είναι ύψος, οπότε (M_1N_1')^2=(A_1'N_1')(N_1'B_1')

. Τότε

$\dfrac{(MN')^2}{(A'N')(N'B')}=\dfrac{(M_1N_1')^2 cos^2r}{(A_1'N_1'cost)(N_1'B_1'cost)}=\dfrac{cos^2r}{cos^2t}$ σταθερό.

...με επιφύλαξη.

#4

Να, ένα σχήμα σε Geogebra 3D!

H έλλειψη στο οριζόντιο επίπεδο είναι η προβολή του κόκκινου κύκλου. Οι κορυφές των γωνιών t, r

είναι, προφανώς, σημεία της τομής των δύο επιπέδων (κίτρινη ευθεία).

STOPJOHN · #5

Kαλησπέρα Κώστα το σχήμα σου δεν φαίνεται ολόκληρο ...ωστόσο υπάρχει ένα μονο (;) επίπεδο που προβάλλεται στην έλλειψη ; Πιστεύω ότι το αποτέλεσμα θα πρέπει να έχει μόνο τα στοιχεία της έλλειψης που είναι και σταθερά .
Θα το μελετήσω....

Γιάννης

#6

STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα

1) Κώστα το σχήμα σου δεν φαίνεται ολόκληρο

2) ...ωστόσο υπάρχει ένα μονο (;) επίπεδο που προβάλλεται στην έλλειψη ;

3) Πιστεύω ότι το αποτέλεσμα θα πρέπει να έχει μόνο τα στοιχεία της έλλειψης που είναι και σταθερά .

Γιάννης

Φίλε Γιάννη καλησπέρα!

1) Για το σχήμα δεν μπορώ να κάνω κάτι περισσότερο, πάντως δουλεύει.

2) Yπάρχουν και άλλοι κύκλοι που η προβολή τους στο επίπεδο της έλλειψης είναι η δοσμένη έλλειψη. Οποιοσδήποτε από αυτούς μας κάνει!

3) Τον σταθερό λόγο μπορούμε εύκολα να τον υπολογίσουμε συναρτήσει των σταθερών στοιχείων της δοσμένης έλλειψης. Ένας τρόπος είναι να συνεχίσω από το σημείο που το άφησα:

Έστω

είναι η ακτίνα του κύκλου. (Χρησιμοποιώ τα γράμματα του σχήματος της αρχικής εκφώνησης και συμβολίζω με X_1

τα σημεία του κύκλου που προβάλλονται στα σημεία

της έλλειψης). Είναι:

$\dfrac{cosr}{cost}=\dfrac{\dfrac{OC'}{O_1C'_1}}{\dfrac{OA'}{O_1A'_1}}=\dfrac{\dfrac{OC'}{R}}{\dfrac{OA'}{R}}=\dfrac{OC'}{OA'}$

Επομένως ο σταθερός λόγος είναι $\dfrac{(OC')^2}{(OA')^2}$

Γιάννη, εύχομαι να είσαι πάντα καλά και όλα να σου έρχονται ευνοϊκά!

STOPJOHN · #7

Kαλησπερα Κώστα ,χρειάζομαι ένα καλό 3D πρόγραμμα και ο Κώστας Δόρτσιος πρέπει να έχει τέτοιο πρόγραμμα . Η εισήγηση του στα Ανώγεια έδειξε ότι έχει τέτοιο πρόγραμμα .Ακόμη τα Απολλωνίου Κωνικά με το κατάλληλο πρόγραμμα μας οδηγούν στα μονοπάτια της Στερεομετρίας και της Επιπεδομετρίας ευκολότερα και συντομότερα.
Ο συνδυασμός γνώση -τεχνολογία είναι καθοριστικός για την μελέτη των Κωνικών.

Καλό βράδυ
Φιλικά Γιάννης

Al.Koutsouridis · #8

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά (έστω και αργοπορημένα).

Σας ευχαριστώ για την ενασχόληση.

STOPJOHN έγραψε: Δεν έχω βρεί λύση ,ακόμη ,για το δευτερο ερώτημα . Το υπολογιστικό μέρος με την Αναλυτική Γεωμετρία οδηγεί σε αδιέξοδο,σίγουρα χειάζεται η βοήθεια της Ευκλείδειας Γεωμετρίας . Στα προβλήματα αυτού του είδους φαίνεται και η ισχύς της Γεωμετρίας που δίνουν λύση ,όταν η Καρτεσιανή μεθοδολογία δεν προχωράει ....

Η αλήθεια είναι οτι ούτε εγω έχω λύση για το δευτερο ερώτημα. Προσπάθησα να θεωρήσω μη ορθοκανινικό σύστημα συντεταγμένων με άξονες τους συζυγείς άξονες της έλλειψης και να το μετασχηματίσω σε ορθοκανονικό αλλά δεν κατέληξα καπου.

STOPJOHN έγραψε: Ο συνδυασμός γνώση -τεχνολογία είναι καθοριστικός για την μελέτη των Κωνικών.

Γενικότερα είναι ένας συνδιασμός που θα πρέπει να δοθεί μεγάλη σημασία από το εκπαιδευτικό σύστημα σε σχολικό και πανεπιστημιακό επίπεδο στη χώρα μας.

Φιλικά,
Αλέξανδρος

Πρόταση Ι21 των κωνικών του Απολλώνιου

Πρόταση Ι21 των κωνικών του Απολλώνιου

Re: Πρόταση Ι21 των κωνικών του Απολλώνιου

Re: Πρόταση Ι21 των κωνικών του Απολλώνιου

Re: Πρόταση Ι21 των κωνικών του Απολλώνιου

Re: Πρόταση Ι21 των κωνικών του Απολλώνιου

Re: Πρόταση Ι21 των κωνικών του Απολλώνιου

Re: Πρόταση Ι21 των κωνικών του Απολλώνιου

Re: Πρόταση Ι21 των κωνικών του Απολλώνιου

Μέλη σε σύνδεση