Mix 25

erxmer · #1

Δίνεται η εξίσωση $Z:{x^2} + {y^2} + \alpha x + 2\beta y - \alpha \beta = 0,,,,\beta \ne 0 }$ και η ευθεία $\displaystyle{\varepsilon :\alpha x - 2\beta y = 0}$ η οποία σχηματίζει με τον άξονα $\displaystyle{x'x }$ γωνία $\displaystyle{\omega \ne \frac{{3\pi }}{4}}$ . Να αποδειχτεί ότι:

Α. Η εξίσωση

παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ.

Β. Η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο

αν και μόνο αν $\alpha = 0.$

Γ. Για β σταθερό οι κύκλοι

έχουν μοναδικό κοινό σημείο ${\rm A}$ και για α σταθερό οι κύκλοι

έχουν μοναδικό κοινό σημείο ${\rm B}$ .

Δ. Για κάθε α,β ισχύει: $\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm B}} \right) = \rho \sqrt 2}$

Σταμ. Γλάρος · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται η εξίσωση $Z:{x^2} + {y^2} + \alpha x + 2\beta y - \alpha \beta = 0,,,,\beta \ne 0 }$ και η ευθεία $\displaystyle{\varepsilon :\alpha x - 2\beta y = 0}$ η οποία σχηματίζει με τον άξονα $\displaystyle{x'x }$ γωνία $\displaystyle{\omega \ne \frac{{3\pi }}{4}}$ . Να αποδειχτεί ότι:

Α. Η εξίσωση παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ.

Β. Η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο αν και μόνο αν $\alpha = 0.$

Γ. Για β σταθερό οι κύκλοι έχουν μοναδικό κοινό σημείο ${\rm A}$ και για α σταθερό οι κύκλοι έχουν μοναδικό κοινό σημείο ${\rm B}$ .

Δ. Για κάθε α,β ισχύει: $\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm B}} \right) = \rho \sqrt 2}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Α. Κατά τα γνωστά η

παριστάνει κύκλο με κέντρο το $K\left (-\dfrac{\alpha }{2}, \beta \right )$ και ακτίνα $\rho =\dfrac{\left | \alpha +2\beta \right |}{2}.$

B.Η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο

αν και μόνο αν $d\left ( K,\varepsilon \right )=\rho$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{\left | \alpha (-\frac{\alpha }{2}) -2\beta (-\beta )\right |}{\sqrt{\alpha ^2+4\beta ^2}}= \dfrac{ \left | \alpha +2\beta \right |}{2}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $\left |\alpha +2\beta \right |\left ( \left | \alpha -2\beta \right | \right-\sqrt{\alpha ^2+4\beta ^2} )= 0 .$
Ο συντελεστής διευθύνσεως της ευθείας είναι $\lambda _{\varepsilon }=\varepsilon \varphi \omega =\dfrac{\alpha }{2\beta }$ και επειδή $\varepsilon \varphi \omega \neq -1$ ισχύει $\alpha +2\beta \neq 0.$

Άρα $\left |\alpha -2\beta \right |=\sqrt{\alpha ^2+4\beta ^2}$ $\Leftrightarrow$ $\alpha =0,$ αφού $\beta \ne 0.$

Γ. α) Έστω $\beta :$ σταθερό.
Για $\alpha = 0$ έχουμε τον κύκλο $Z_{1}:x^2+y^2+2\beta y=0$ (1)
Για $\alpha = \beta$ έχουμε τον κύκλο $Z_{2}:x^2+y^2+\beta x+2\beta y- \beta ^2 =0$ (2)

Λύνοντας το σύστημα των (1) και (2) βρίσκουμε το κοινό σημείο $A(\beta, -\beta)$ των $Z_{1} , Z_{2}.$
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της οικογένειας των κύκλων

επαληθεύουμε ότι το

είναι το μοναδικό κοινό τους σημείο.

β) Έστω $\alpha :$ σταθερό.
Για $\beta = 1$ έχουμε τον κύκλο $Z_{3}:x^2+y^2+\alpha x+2y-\alpha =0$ (3)
Για $\beta=\alpha$ έχουμε τον κύκλο $Z_{4}:x^2+y^2+\alpha x+2\alpha y- \alpha^2 = 0$ (4)

Λύνοντας το σύστημα των (3) και (4) βρίσκουμε το κοινό σημείο $B(-\dfrac{\alpha}{2},\dfrac{\alpha}{2})$ των $Z_{3} , Z_{4}.$
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της οικογένειας των κύκλων

επαληθεύουμε ότι το

είναι το μοναδικό κοινό τους σημείο.

Δ. Είναι $\left ( AB \right )=\sqrt{\left (\beta +\dfrac{\alpha }{2} \right )^2+ \left (-\beta -\dfrac{\alpha }{2} \right )^2}= \sqrt{2 \left (\beta +\dfrac{\alpha }{2} \right )^2}=\sqrt{2}\dfrac{\left | \alpha +2\beta \right |}{2}=\sqrt{2}\rho .$

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Mix 25

Mix 25

Re: Mix 25

Μέλη σε σύνδεση