Κάθετες διάμετροι

KARKAR · #1

: Κάθετες διάμετροι.png (12.23 KiB) Προβλήθηκε 1380 φορές

Οι

είναι κάθετες διάμετροι ενός κύκλου , από τις οποίες η

έχει άκρα τα κινητά σημεία A,B

, για τα οποία ισχύει : OA+OB=8

.

α) Βρείτε τις συντεταγμένες του

...β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του

.

S.E.Louridas · #2

Αν εφαρμόσουμε το θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο OACB

τελειώσαμε, και για τη γενικώτερη περίπτωση που δινόταν $OA+OB=k,\;\;k\;ct.$
Το σημείο

είναι τελικά σταθερό και ο γ.τ. του

είναι τμήμα της μεσοκάθετης του ευθύγραμμου τμήματος OC,

οπότε προκύπτει και ο γ.τ. του σημείου

.
Το ίδιο θα είχαμε και αν δινόταν γωνία μη ορθή.

edit: Άρση της απόκρυψης μετά την λύση του Γιώργου.

#3

KARKAR έγραψε:Κάθετες διάμετροι.pngΟι είναι κάθετες διάμετροι ενός κύκλου , από τις οποίες η

έχει άκρα τα κινητά σημεία , για τα οποία ισχύει : .

α) Βρείτε τις συντεταγμένες του ...β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του .

Με τις συντεταγμένες που φαίνονται στο σχήμα είναι $\boxed{a+b=8}$ (1)

: Κάθετες διάμετροι.png (14.21 KiB) Προβλήθηκε 1341 φορές

α) Η

έχει εξίσωση $\boxed{y = \frac{a}{b}x + \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}}$ και ο κύκλος $\boxed{{\left( {x - \frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{b}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}}$

και από την (1)

είναι $\boxed{C(4,4)}$ , $\displaystyle{D\left( {\frac{{a - b}}{2},\frac{{(a - b)(a - 8)}}{{2b}}} \right)}$

β) Έστω D(x,y),

τότε $\displaystyle{x = \frac{{a - b}}{2},y = \frac{{(a - b)(8 - b - 8)}}{{2b}} = - \frac{{a - b}}{2} \Rightarrow }$ $\boxed{y=-x}$

Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι λοιπόν η διχοτόμος της γωνίας $x\widehat Oy'.$

Γενικά είναι $\boxed{C\left( {\frac{{a + b}}{2},\frac{{a + b}}{2}} \right)}$ κι επειδή το

είναι σταθερό και η

διάμετρος, τότε η $\boxed{OD \bot OC}$ είναι επίσης σταθερή ημιευθεία.

#4

: κάθετοι διάμετροι.png (20.38 KiB) Προβλήθηκε 1321 φορές

Έχει και άλλη Ευκλείδεια λύση η άσκηση.

Επειδή η εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό της επικέντρου η

διχοτομεί την ορθή

γωνία των αξόνων . Ας είναι τώρα στους θετικούς ημιάξονες $Ox,\,\,Oy$ τα σημεία E,Z

με

. Τα τρίγωνα $OCE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OCZ$ είναι ίσα ( $\Pi - \Gamma - \Pi$ ) άρα θα έχουν

τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα με αποτέλεσμα τα E,C,Z

να είναι συνευθειακά και

το

μέσο του σταθερού ευθυγράμμου τμήματος

άρα

.

Επειδή δε $\widehat {DOC} = 90^\circ$ γιατί βαίνει σε ημικύκλιο θα είναι OD//EZ

άρα το

σε

σταθερή ευθεία για την οποία $\widehat {DOC} = 45^\circ$ .

Κάθετες διάμετροι

Κάθετες διάμετροι

Re: Κάθετες διάμετροι

Re: Κάθετες διάμετροι

Re: Κάθετες διάμετροι

Μέλη σε σύνδεση