Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

Ρουλα Γρ. · #1

Θα ήθελα να ρωτήσω αν γίνεται να με βοηθήσετε στην επίλυση μιας άσκησης πάνω στον κύκλο. Η άσκηση είναι :Έστω ο κύκλος c:x^2+y^2=5

και η ευθεία $\varepsilon: 2y+x=0$ . Θεωρούμε ένα σημείο $\rm{P}$ του κύκλου και τις προβολές του ${\rm{A}}, {\rm{B}}, \Gamma$ στον x'x

,

, $\varepsilon$ , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου $\bigtriangleup{\rm{A}} {\rm{B}} \Gamma$ είναι σταθερό.

KARKAR · #2

Αν θες υπόδειξη και όχι ολοκληρωμένη απάντηση , κοίταξε εδώ .

Ρουλα Γρ. · #3

Με συγχωρείτε, αλλά πηγαίνω Β'λυκείου και δεν μας έχουν διδάξει την τομεακη σταθερότητα. Μήπως, μπορείτε να μου προτείνετε έναν άλλο τρόπο λύσης;

Christos.N · #4

Γίνεται να σε βοηθήσουμε ναι, αρκεί να υποσχεθείς ότι θα γράφεις σε Latex όπως ορίζει ο κανονισμός του

,απο εδώ και πέρα.

Το σημείο του κύκλου έχει προβολές στους άξονες την αντίστοιχη τετμημένη και τεταγμένη του. Η προβολή του στην ευθεία μπορεί να βρεθεί ως εξής, θα βρούμε την κάθετη ευθεία που διέρχεται απο το σημείο του κύκλου και στην συνέχεια θα επιλύσουμε το σύστημα εξισώσεων των δύο ευθειών, έτσι θα βρεθεί και η προβολή του στην αρχική ευθεία. Στην συνέχεια απο τον τύπο εμβαδού τριγώνου θα δούμε ότι το εμβαδόν είναι σταθερό και ίσο με 1.

Θα βάλω και ένα σχήμα, που έχει και ένα αποτέλεσμα, για να σου γίνει πιο κατανοητό.

: τριγωνο σταθερού εμβαδού.png (336.39 KiB) Προβλήθηκε 2323 φορές

#5

Καλησπέρα σε όλους. Όσο απαντούσε ο Χρήστος, έγραφα τις συντεταγμένες των σημείων.

Επειδή έχει ενδιαφέρον η άσκηση, δίνω και το δυναμικό σχήμα (geogebra)

: 15-4-2018 Γεωμετρία.png (37.84 KiB) Προβλήθηκε 2328 φορές

Έστω

, με

.

Τότε

.

Είναι $\displaystyle OP:\;y = - \frac{x}{2}$ , $\displaystyle PC:\;\;y = 2x - 2a + b$ , οπότε $\displaystyle C\left( {\frac{{4a - 2b}}{5},\;\frac{{b - 2a}}{5}} \right)$

Κατόπιν χρησιμοποιούμε κάποιον τους τύπους εμβαδού τριγώνου (παρατηρήστε ότι είναι ορθογώνιο).

To εμβαδόν βγαίνει

.

Ρουλα Γρ. · #6

Σας ευχαριστώ πολύ!

KARKAR · #7

Να επισημάνω ότι ( σύμφωνα και με την παραπομπή ) , δεν είναι απλά το εμβαδόν

του τριγώνου σταθερό , αλλά όλες οι πλευρές του είναι σταθερές ( κατά μήκος ) ,

συνεπώς και η περίμετρος !

Ρουλα Γρ. · #8

Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε και σε μία παρόμοια άσκηση; Η άσκηση είναι :
Έστω η ευθεία $\varepsilon :y= \lambda x$
όπου $\lambda\neq 2$
και το σημείο $\Phi (1,2)$
Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του $\Phi '$
ως προς την ευθεία $\varepsilon$
ανήκει σε κύκλο.

Ρουλα Γρ. · #9

Σας ευχαριστώ πολύ και συγνώμη αν σας έβαλα σε κόπο!

Ratio · #10

Μπορείς να προσεγγίσεις την άσκηση με δύο τρόπους:
1. Να θεωρήσεις ότι η $y=\lambda x$
είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος $\Phi \Phi '$
, συνεπώς αν συμβολίσεις το τυχαίο σημείο $Α(x,\lambda x)$ της ευθείας $\varepsilon$ και $\Phi'(x_{o},y_{o})$ το συμμετρικό του $\Phi$ οι αποστάσεις $(A \Phi)$ και $(A \Phi')$ είναι ίσες , άρα
$\sqrt{(x-x_{o})^{2}+(\lambda x-y_{o})^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+(\lambda x-2)^{2}}$
και με πράξεις προκύπτει ότι το $\Phi'$ κινείται σε περιφέρεια με κέντρο το

ή
2. αυτό που δεν σκέφτηκες και στην προηγούμενη άσκηση ότι από το $\Phi$ άγεται κάθετος στην $y=\lambda x$ με συντελεστή διεύθυνσης $m=\frac{-1}{\lambda }$ , οπότε λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων θα έβρισκες το σημείο τομής

. Στη συνέχεια θα αναζητούσες το συμμετρικο $\Phi'(x_{o},y_{o})$ έτσι ώστε $(M \Phi')=(M \Phi)$ .

Kαι στις δύο επιλύσεις χρειάζεται οπωσδήποτε προσοχή στις πράξεις και φυσικά να τηρηθούν οι περιορισμοί έτσι ώστε στην τελική παράσταση οι ποσότητες που θα προκύψουν να ικανοποιούν τη συνθήκη $A^{2}+B^{2}-4A\Gamma > 0$
Εικόνα

Ratio · #11

Ρουλα Γρ. έγραψε: Κυρ Απρ 15, 2018 10:00 pm Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε και σε μία παρόμοια άσκηση; Η άσκηση είναι :
Έστω η ευθεία $\varepsilon :y= \lambda x$
όπου $\lambda\neq 2$
και το σημείο $\Phi (1,2)$
Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του $\Phi '$
ως προς την ευθεία $\varepsilon$
ανήκει σε κύκλο.

Μπορείς να προσεγγίσεις την άσκηση με δύο τρόπους:
1. Να θεωρήσεις ότι η $y=\lambda x$
είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος $\Phi \Phi '$
, συνεπώς αν συμβολίσεις το τυχαίο σημείο $Α(x,\lambda x)$ της ευθείας $\varepsilon$ και $\Phi'(x_{o},y_{o})$ το συμμετρικό του $\Phi$ οι αποστάσεις $(A \Phi)$ και $(A \Phi')$ είναι ίσες , άρα
$\sqrt{(x-x_{o})^{2}+(\lambda x-y_{o})^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+(\lambda x-2)^{2}}$
και με πράξεις προκύπτει ότι το $\Phi'$ κινείται σε περιφέρεια με κέντρο το

ή
2. αυτό που δεν σκέφτηκες και στην προηγούμενη άσκηση ότι από το $\Phi$ άγεται κάθετος στην $y=\lambda x$ με συντελεστή διεύθυνσης $m=\frac{-1}{\lambda }$ , οπότε λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων θα έβρισκες το σημείο τομής

. Στη συνέχεια θα αναζητούσες το συμμετρικο $\Phi'(x_{o},y_{o})$ έτσι ώστε $(M \Phi')=(M \Phi)$ .

Kαι στις δύο επιλύσεις χρειάζεται οπωσδήποτε προσοχή στις πράξεις και φυσικά να τηρηθούν οι περιορισμοί έτσι ώστε στην τελική παράσταση οι ποσότητες που θα προκύψουν να ικανοποιούν τη συνθήκη $A^{2}+B^{2}-4A\Gamma > 0[/tex]

#12

Αναλυτική Vs Ευκλείδεια.

Στο σχήμα του Γιώργου από το ορθογώνιο OBPA

είναι

, ίσο με την ακτίνα του κύκλου.

Ακόμα το πεντάγωνο OBPCA

είναι εγγράψιμο, γιατί η

φαίνεται από τις κορυφές του C, A, B

υπό ορθές γωνίες.
Έτσι $\measuredangle CBA=\measuredangle COA,\,\,\,\measuredangle CAB=\measuredangle COB$

Επομένως το τρίγωνο μας μεταβάλλεται παραμένοντας ίσο προς τον εαυτό του, αφού μία πλευρά του και οι προσκείμενες της γωνίες παραμένουν σταθερές σε μέγεθος, άρα έχει σταθερό εμβαδόν.

Ρουλα Γρ. · #13

Ευχαριστώ πολύ!

#14

Ρουλα Γρ. έγραψε: Κυρ Απρ 15, 2018 10:00 pm Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε και σε μία παρόμοια άσκηση; Η άσκηση είναι :
Έστω η ευθεία $\varepsilon :y= \lambda x$
όπου $\lambda\neq 2$
και το σημείο $\Phi (1,2)$
Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του $\Phi '$
ως προς την ευθεία $\varepsilon$
ανήκει σε κύκλο.

Η ευθεία διέρχεται από την αρχή

των αξόνων. Λόγω συμμετρίας είναι $O\Phi '= O\Phi$ . Επομένως το $\Phi '$ ανήκει στον κύκλο κέντρου

και ακτίνας $O\Phi .$