Τριχοτόμηση

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 18039
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριχοτόμηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR »

Τριχοτόμηση.png
Τριχοτόμηση.png (9.3 KiB) Προβλήθηκε 1143 φορές
Από το σημείο S(7 , 2) διέρχεται ευθεία \epsilon, η οποία τέμνει τον x'x στο A , την : y=\dfrac{16}{11}x ,

στο B και την : y=-4x , στο C . Βρείτε την εξίσωση της \epsilon , αν : AS=SB=BC .
Ετικέτες:
ευθείες
τέμνονται
τριχοτόμηση
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18868
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τριχοτόμηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou »

KARKAR έγραψε: Τρί Φεβ 02, 2021 8:45 pm Τριχοτόμηση.pngΑπό το σημείο S(7 , 2) διέρχεται ευθεία \epsilon, η οποία τέμνει τον x'x στο A , την : y=\dfrac{16}{11}x ,

στο B και την : y=-4x , στο C . Βρείτε την εξίσωση της \epsilon , αν : AS=SB=BC .
Χωρίς τις πράξεις γιατί είναι πολλές και ανιαρές. Τα λογιστικά σφάλματα... επιτρέπονται.

H εξίσωση της ε είναι y-2=m(y-7) (εδώ m<0) , Λύνοντας σύστημα ως προς την ε και την y=-4x βρίσκουμε ότι

\displaystyle{C \left ( \dfrac {7m-2}{m+4}, \, -\dfrac { 4(7m-2)}{m+4} \right )}

Όμοια \displaystyle{B \left ( \dfrac {11(7m-2)}{11m-16}, \, \dfrac { 16(7m-2)}{11m-16} \right )}

Η συνθήκη τριχοτόμησης δίνει ότι το B είναι το μέσον της CS. Γράφοντας την τελευταία με συντεταγμένες καταλήγουμε δύο εξισώσεις ως προς m με (ευτυχώς) κοινή ρίζα -\frac {8}{17} . Kάνουμε έλεγχο ότι το S είναι το μέσον της AB. Δεν έκανα τον έλεγχο ούτε ξανακοίταξα τα παραπάνω, τα οποία αφήνω τουλάχιστν για την μέθοδο. Τα υπόλοιπα δεν αξίζουν το μελάνι τους.

Nομίζω ότι ως άσκηση είναι του τύπου που πρέπει να αποφεύγουμε δεδομένων των πολλών και ανιαρών πράξεων. Καλές μεν οι πράξεις αλλά ακόμα καλύτερα να μην απωθούμε τους μαθητές με θέματα ρουτίνας αλλά κοπιαστικά σε υψηλό βαθμό.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11068
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τριχοτόμηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros »

KARKAR έγραψε: Τρί Φεβ 02, 2021 8:45 pm Τριχοτόμηση.pngΑπό το σημείο S(7 , 2) διέρχεται ευθεία \epsilon, η οποία τέμνει τον x'x στο A , την : y=\dfrac{16}{11}x ,

στο B και την : y=-4x , στο C . Βρείτε την εξίσωση της \epsilon , αν : AS=SB=BC .
τριχοτόμηση.png
τριχοτόμηση.png (27.56 KiB) Προβλήθηκε 1101 φορές

Η από το S\left( {7,2} \right) παράλληλη στην ευθεία μ εξίσωση y = \dfrac{{16}}{{11}}x είναι:

y = \dfrac{{16}}{{11}}x + k κι αφού επαληθεύεται από το S προκύπτει : k = - \dfrac{{90}}{{11}} και άρα γίνεται :

y = \dfrac{{16}}{{11}}x - \dfrac{{90}}{{11}} που για y = 0 δίνει την τετμημένη του σημείου τομής M\left( {\dfrac{{45}}{8},0} \right).

Θεωρώ το σημείο A\left( {\dfrac{{45}}{4},0} \right). Έτσι η ευθεία που ζητώ διέρχεται από τα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S

Κι έχει εξίσωση : \boxed{\varepsilon :\,\,8x + 17y - 90 = 0} το ότι AS = SB είναι σίγουρο 100\% ,

απλώς επαληθεύω την τριχοτόμηση αφού βρω: B\left( {\dfrac{{11}}{4},4} \right)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,C\,\left( { - \dfrac{3}{2},6} \right).

Συμφωνώ με τον κ. Λάμπρου . Αν ο μαθητής δεν κατασκευάσει γεωμετρικά την SM δεν λύνει την άσκηση!
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος Doloros την Τρί Φεβ 02, 2021 11:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18868
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τριχοτόμηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou »

Doloros έγραψε: Τρί Φεβ 02, 2021 11:12 pm
Κι έχει εξίσωση : \boxed{\varepsilon :\,\,8x + 17y - 90 = 0}
Ευτυχώς για μένα που οι απαντήσεις είναι ίδιες. Είχα ξεκινήσει με την y-2=m(y-7) και βρήκα m=-\frac {8}{17}, δηλαδή τελικά τη ίδια ευθεία.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 18039
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τριχοτόμηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR »

Τριχοτόμηση.png
Τριχοτόμηση.png (9.8 KiB) Προβλήθηκε 1074 φορές
Ας ξαναδούμε την άσκηση φέροντας τις κόκκινες παράλληλες ...
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18868
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τριχοτόμηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou »

Ότι και να κάνουμε, δεν γλυτώνουμε τις πολλές πράξεις.

Περίληψη: Για y=2 βρίσκουμε το σημείο S' (-1/2,2) πάνω στην y=-4x και στο ίδιο ύψος με το S. Όμοια βρίσκουμε το B'(-1,4) το οποίο είναι στην ευθεία y=-4x και στο ίδιο ύψος με το B, και τέλος βρίσκουμε το C(-3/2,\,6).

Τώρα βρίσκουμε ότι \displaystyle{SS'= 7-(-1/2)=15/2}. Έπεται από τα όμοια τρίγωνα C'B'B,\, C'S'S,\, C'OA ότι B'B= SS' /2= 15/4 και OA= 3SS'/2=45/4.

Άρα A(45/4,0). Επίσης η τετμημένη του B είναι "όσο του B' συν BB'". εδώ -1+15/4=11/4, από όπου B(11/4, 4)
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18868
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τριχοτόμηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou »

Κάπως καλύτερα αλλά πάλι με πολλές πράξεις:

Περίληψη: Όπως πριν, από όμοια τρίγωνα, το C βρίσκεται σε ύψος 6 αλλά και στην y=-4x οπότε είναι το C(-3/2,6). Από εκεί βρίσκουμε την εξίσωση της ε αφού διέρχεται από τα C,S, η οποία βγαίνει να είναι η 8x+7y-90=0. Το B είναι το μέσον του CS, εδώ B ( \frac {7-3/2}{2},\, \frac {6+2}{2}) = B(11/4,4) και ελέγχουμε ότι βρίσκεται στην y=16x/11 (δεν χρειάζεται έλεγχος αν βρίσκεται στην 8x+7y-90=0 γιατί είναι αυτόματα σε αυτήν). Ανάλογα βρίσκουμε το A και επιβεβαιώνουμε την τριχοτομία.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης