Θέλω 10

KARKAR · #1

: Θέλω 10.png (10.28 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

$\bigstar$ Βρείτε σημεία C , B

της ευθείας : $y=-\dfrac{4}{3}x+4$ , τέτοια ώστε

μαζί με τα O , A

, να σχηματίζουν τραπέζιο OABC

, εμβαδού

.

kfd · #2

Aν

το μέσο του

είναι $d(M, \epsilon )=3$ και $10=BC\cdot 3\Leftrightarrow BC=\frac{10}{3}.$
Aν $y=\lambda x,y=\lambda x-2$ οι εξισώσεις των OC,AB

αντίστοιχα τότε προκύπτει ότι $B(\frac{18}{3\lambda +4},\frac{12\lambda -8}{3\lambda +4}),C(\frac{12}{3\lambda +4},\frac{12\lambda }{3\lambda +4})$ και από την εξίσωση $\left ( \frac{6}{4+3\lambda } \right )^{2}+\left ( \frac{8}{3\lambda +4} \right )^{2}=\frac{100}{9}$ βρίσκω $\lambda =-\frac{1}{3},-\frac{7}{3}$ και $C\left ( 4,-\frac{4}{3} \right ),B(6,-4)$ και $B(-6,12),C(-4,\frac{28}{3})$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Η παραπάνω λύση βασίζεται στην πρόταση: Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το μήκος μιας εκ των μη παραλλήλων πλευρών του επί την απόσταση του μέσου της άλλης μη παράλληλης πλευράς από αυτήν. Πετυχημένη λύση...

Ας δούμε μια άλλη σκέψη...
Έστω ότι η ευθεία $\displaystyle y=-\frac{4}{3}x+4$ τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο

Εύκολα βρίσκεται ότι $E\left ( 0,4 \right )$

Φυσικά ισχύει ότι $\left ( OABC \right )=\left ( EAB \right )-\left ( EOC \right )$

Mε τις γνωστές γνώσεις της Αναλυτικής Γεωμετρίας βρίσκεται ότι

$\displaystyle\left ( EAB \right )=\frac{54}{\left | 3\lambda +4 \right |}$ και $\displaystyle\left ( EOC \right )=\frac{24}{\left | 3\lambda +4 \right |}$

Συνεπώς $\displaystyle \left ( OABC \right )=\left ( EAB \right )-\left ( EOC \right )=\frac{30}{\left | 3\lambda +4 \right |}$

Έτσι καταλήγουμε στην εξίσωση $\displaystyle10=\frac{30}{\left | 3\lambda +4 \right |}\Leftrightarrow \left | 3\lambda +4 \right |=3$

Aπό αυτήν την εξίσωση προκύπτουν οι ίδιες τιμές με την προηγούμενη λύση και επομένως τα ίδια σημεία.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 17, 2022 12:00 pm
Θέλω 10.png $\bigstar$ Βρείτε σημεία της ευθείας : $y=-\dfrac{4}{3}x+4$ , τέτοια ώστε

μαζί με τα , να σχηματίζουν τραπέζιο , εμβαδού .

Το εμβαδόν κάθε τραπεζίου ισούται με το γινόμενο μιας των μη παραλλήλων πλευρών επί την απόσταση του μέσου της άλλης απ’ αυτή .

Η δεδομένη ευθεία έχει εξίσωση : 4x + 3y - 12 = 0

.

Η απόσταση του μέσου $M\left( {0, - 1} \right)$ απ’ αυτή είναι , ${d_1} = \dfrac{{\left| {4 \cdot 0 - 3 - 12} \right|}}{5} = 3 \Rightarrow BC = \dfrac{{10}}{3}$ .

Ομοίως η απόσταση του μέσου

του

από τον κατακόρυφο άξονα θα προκύψει από την εξίσωση :

$2{d_2} = 10 \Rightarrow {d_2} = 5$ και άρα το $K:\left\{ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ 4x + 3y = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow K\left( {5, - \dfrac{8}{3}} \right)$ .

: Θέλω 10.png (22.63 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές

Το σύστημα της εξίσωσης του κύκλου $\left( {K,\dfrac{5}{3}} \right)$ με την εξίσωση της ευθείας θα δώσει τα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ . Δηλαδή :

$\left\{ \begin{gathered} 4x + 3y - 12 = 0 \hfill \\ {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + \frac{8}{3}} \right)^2} = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} B\left( {6, - 4} \right) \hfill \\ C\left( {4, - \frac{4}{3}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

S.E.Louridas · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 17, 2022 12:00 pm
Θέλω 10.png $\bigstar$ Βρείτε σημεία της ευθείας : $y=-\dfrac{4}{3}x+4$ , τέτοια ώστε

μαζί με τα , να σχηματίζουν τραπέζιο , εμβαδού .

Εγώ πάλι θα επιχειρήσω μία παραβατική διαπραγμάτευση (αν μου δίνει την άδεια ο εισηγητής του θέματος ο φίλος Θανάσης).

Γεωμετρικός Κατασκευαστικός προσδιορισμός:
Κατασκευάζω το

συμμετρικό του

ως προς την ευθεία $\varepsilon :y = - \frac{4}{3}x + 4$ και από το

την ευθεία ${\varepsilon _1}$ παράλληλη προς την $\varepsilon .$ Μετά κατασκευάζω την ευθεία ${\varepsilon _2}$ παράλληλη στην

που να απέχει από την

(τον κάθετο δηλαδή άξονα) απόσταση 10.

Ονομάζω

το σημείο τομής των ${\varepsilon _1},{\varepsilon _2}.$ Έστω

το σημείο τομής της

με την $\varepsilon .$ Αν ονομάσω

το σημείο τομής της παράλληλης από το

στην

με την $\varepsilon,$ το ζητούμενο τραπέζιο είναι το OABC.

(*) Έτσι και αν την παραπάνω σκέψη την θεωρήσω ως ανάλυση και την «κρύψω» και βρω (διαδικαστικά κατά τα γνωστά) τις εξισώσεις των ${\varepsilon _1}$ και ${\varepsilon _2}$ , τάχα μου δίκην έμπνευσης, αρκεί να επιλύσω το σύστημα τους πηγαίνοντας έτσι στην Β' ΛΥΚΕΙΟΥ Κατεύθυνσης.

(**)Αυτά τα αναφέρω επειδή είμαι υπέρ της ιδέας της αναβάθμισης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας για λόγους διεύρυνσης μέσω αυτής της Μαθηματικής σκέψης σε υψηλά επίπεδα. Η αναβάθμιση να γίνει μέσω της διαδικασίας να εξετάζεται (όπως γίνεται στην υπόλοιπη Ε.Ε.) για την εισαγωγή στα θετικά τμήματα και ιδρύματα στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Και βέβαια για να δούμε την ομορφιά της συνεργασίας των Μαθηματικών ενοτήτων που μπορεί να οδηγήσει σε πανέμορφα «Μαθηματικά ταγκό».

Θέλω 10

Θέλω 10

Re: Θέλω 10

Re: Θέλω 10

Re: Θέλω 10

Re: Θέλω 10

Μέλη σε σύνδεση