Εμβαδόν τριγώνου σε κύκλο

KARKAR · #1

: Εμβαδόν τριγώνου σε κύκλο.png (11.97 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές

Η κάθετη πλευρά

του ορθογωνίου ( στο

) τριγώνου ABT

, είναι χορδή του κύκλου x^2+y^2=25

,

διερχόμενη από το σημείο S(-1 , 3 )

, ενώ η άλλη κάθετη ( η

) , έχει ως άλλο άκρο το σημείο T(4,0)

.

Υπολογίστε το (ABT)

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Σεπ 29, 2022 12:24 pm Εμβαδόν τριγώνου σε κύκλο.pngΗ κάθετη πλευρά του ορθογωνίου ( στο ) τριγώνου , είναι χορδή του κύκλου ,

διερχόμενη από το σημείο , ενώ η άλλη κάθετη ( η ) , έχει ως άλλο άκρο το σημείο .

Υπολογίστε το .

: Εμβαδόν τριγώνου σε κύκλο.png (26.86 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Σεπ 29, 2022 12:24 pm Εμβαδόν τριγώνου σε κύκλο.pngΗ κάθετη πλευρά του ορθογωνίου ( στο ) τριγώνου , είναι χορδή του κύκλου ,

διερχόμενη από το σημείο , ενώ η άλλη κάθετη ( η ) , έχει ως άλλο άκρο το σημείο .

Υπολογίστε το .

Επειδή τα σημεία S,T

είναι σταθερά για να βρω το

, γράφω τον κύκλο διαμέτρου

και βρίσκω τα σημεία τομής των δύο κύκλων .

Έχω λοιπόν το σύστημα: $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} = 25 \hfill \\ {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} = K{T^2} = \frac{{17}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} = 25 \hfill \\ {x^2} + {y^2} - 3\left( {x + y} \right) - 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Εμβαδόν τριγώνου σε κύκλο_Ανάλυση Κατασκευή.png (15.44 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 25 \hfill \\ x + y = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} xy = 12 \hfill \\ x + y = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Άρα : $B\left( {3,4} \right)\,$ ή ${B_1}\left( {4,3} \right)\,$

α) Η περίπτωση του ${B_1}$ δίδει ${A_1}\left( { - 4,3} \right)$ και έτσι $\left( {{A_1}B_1T} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$ .

: Εμβαδόν τριγώνου σε κύκλο_Υπολογισμός.png (29.78 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

β) $\left( {BAT} \right) = \left( {BST} \right) + \left( {SAT} \right)\,\,\left( 1 \right)$ . $\overrightarrow {ST} = \left( {5, - 3} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow {BK} = - \dfrac{1}{2}\left( {3,5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {ST} \cdot \overrightarrow {BK} = 0$

Δηλαδή το $\vartriangle BST$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , έτσι : $\left( {BST} \right) = \dfrac{1}{2}\sqrt {25 + 9} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt {25 + 9} = \dfrac{{17}}{2}\,\,\,\left( 2 \right)$ .

Από την άλλη μεριά , $SA \cdot SB = {R^2} - O{S^2} \Rightarrow SA\sqrt {17} = 25 - 10 = 15$ ,

οπότε $SA = \dfrac{{15}}{{\sqrt {17} }} \Rightarrow \left( {SAT} \right) = \dfrac{1}{2}SA \cdot BT = \dfrac{1}{2}\dfrac{{15}}{{\sqrt {17} }}\sqrt {17} = \dfrac{{15}}{2}\,\,\left( 3 \right)$ κι έτσι η $\left( 1 \right)$ λόγω των $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ δίδει :
$\boxed{\left( {BAT} \right) = \dfrac{{17}}{2} + \dfrac{{15}}{2} = 16}$

Εμβαδόν τριγώνου σε κύκλο

Εμβαδόν τριγώνου σε κύκλο

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε κύκλο

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε κύκλο

Μέλη σε σύνδεση