Ελάχιστο μέτρο

KARKAR · #1

: Ελάχιστο μέτρο.png (4.64 KiB) Προβλήθηκε 974 φορές

Το μεταβλητών διαστάσεων ορθογώνιο ABCD

, έχει σταθερή περίμετρο

.

Για τα σημεία P,Q

των

ισχύουν :

.

Υπολογίστε το ελάχιστο μέτρο του διανύσματος $\vec{AP}+\vec{AQ}$

#2

KARKAR έγραψε:Ελάχιστο μέτρο.pngΤο μεταβλητών διαστάσεων ορθογώνιο , έχει σταθερή περίμετρο .

Για τα σημεία των ισχύουν : .

Υπολογίστε το ελάχιστο μέτρο του διανύσματος $\vec{AP}+\vec{AQ}$

Θέτουμε : $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b$ προφανώς $|\overrightarrow a | + |\overrightarrow b | = 6\,\,(1)$ .

Είναι $\displaystyle{\overrightarrow u = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {AQ} = \overrightarrow a + \dfrac{1}{4}\overrightarrow b \, + \overrightarrow b + \dfrac{3}{4}\overrightarrow a = \dfrac{7}{4}\overrightarrow a + \dfrac{5}{4}\overrightarrow b }$ .

$|\overrightarrow u {|^2} = {\overrightarrow u ^2} = \dfrac{{49}}{{16}}|\overrightarrow a {|^2} + \dfrac{{25}}{{16}}|\overrightarrow b {|^2}\,\,(2)$ γιατί $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0$ αφού $AB \bot AD$ .

Η (2)

λόγω της

μας δίδει $\boxed{|\overrightarrow u {|^2} = f(x) = \dfrac{{49}}{{16}}{x^2} + \dfrac{{25}}{{16}}{{(6 - x)}^2}}$ με $x = |\overrightarrow a | > 0$

: Ελάχιστο μέτρο.png (13.99 KiB) Προβλήθηκε 944 φορές

Είναι $f(x) = \dfrac{1}{8}(37{x^2} - 150x + 450)\,\,$ που ως τριώνυμο ( ή αλλιώς) δίδει

ελάχιστο για ${x_0} = \dfrac{{75}}{{37}}$ το $f({x_0}) = \dfrac{{11025}}{{296}}$ και άρα η ελάχιστη τιμή που ζητάμε είναι :

$\sqrt {\dfrac{{11025}}{{296}}} = \dfrac{{105\sqrt {74} }}{{148}}$ .

Φιλικά Νίκος

#3

KARKAR έγραψε:Το μεταβλητών διαστάσεων ορθογώνιο , έχει σταθερή περίμετρο .

Για τα σημεία των ισχύουν : .

Υπολογίστε το ελάχιστο μέτρο του διανύσματος $\vec{AP}+\vec{AQ}$

Θανάση και Νίκο καλημέρα από Γρεβενά. Και μια άλλη ιδέα.
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ελάχιστο μέτρο 1.PNG (24.35 KiB) Προβλήθηκε 897 φορές

Εστω ότι

$\displaystyle{AB=a, BC=6-a\ \ (1)}$

Τότε από το δεδομένα στοιχεία για τα σημεία $\displaystyle{P,Q}$ θα είναι:

$\displaystyle{P(a,\frac{6-a}{4}), \ \ Q(\frac{3a}{4}, 6-a) \ \ (2)}$

Επομένως για το μέσο $\displaystyle{M}$ του τμήματος $\displaystyle{PQ}$ θα είναι:

$\displaystyle{M(\frac{7a}{8}, \frac{30-5a}{8})}$

και για το πέρας $\displaystyle{N}$ του διανύσματος $\displaystyle{\vec{AN}}$ θα είναι:

$\displaystyle{N(\frac{7a}{4}, \frac{30-5a}{4})\ \ (3)}$

Από την (3) οι συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{N}$ θα είναι:

$\displaystyle{x=\frac{7a}{4}, \ \ y=\frac{30-5a}{4} \ \ (4) }$

Απαλοίφοντας την παράμετρο $\displaystyle{a}$ από τις σχέσεις της (4) προκύπτει:

$\displaystyle{ (e):20x+28y-210=0 \ \ (5) }$

Η ευθεία $\displaystyle{(e)}$ ορίζει το τμήμα $\displaystyle{T_1T_2}$ που είναι ο γ.τόπος του σημείου $\displaystyle{N}$
και συνεπώς η ελάχιστη απόσταση του μέτρου $\displaystyle{\left|\vec{AN} \right|}$ είναι το μήκος της καθέτου $\displaystyle{AN_o}$ από το σημείο
$\displaystyle{A}$ προς την $\displaystyle{(e)}$ , δηλαδή:

$\displaystyle{d(A,e)=\frac{\left|-210 \right|}{\sqrt{20^2+28^2} }=...=\frac{105\sqrt{74}}{148} \ \ (6)$

Κώστας Δόρτσιος

Σημείωση:
Παραθέτω ένα δυναμικό σχήμα όπου φαίνεται και το γράφημα της μεταβολής της τιμής του
μέτρου του διανύσματος $\displaystyle{\vec{AN}}$

Ελάχιστο μέτρο 1.ggb: (21.95 KiB) Μεταφορτώθηκε 48 φορές

Ελάχιστο μέτρο

Ελάχιστο μέτρο

Re: Ελάχιστο μέτρο

Re: Ελάχιστο μέτρο

Μέλη σε σύνδεση