Mix 25

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Mix 25

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Τρί Νοέμ 22, 2016 2:37 pm

Δίνεται η εξίσωση Z:{x^2} + {y^2} + \alpha x + 2\beta y - \alpha \beta = 0,,,,\beta \ne 0 } και η ευθεία \displaystyle{\varepsilon :\alpha x - 2\beta y = 0} η οποία σχηματίζει με τον άξονα \displaystyle{x'x } γωνία \displaystyle{\omega \ne \frac{{3\pi }}{4}}. Να αποδειχτεί ότι:

Α. Η εξίσωση Z παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ.

Β. Η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο Z αν και μόνο αν \alpha = 0.

Γ. Για β σταθερό οι κύκλοι Z έχουν μοναδικό κοινό σημείο {\rm A} και για α σταθερό οι κύκλοι Z έχουν μοναδικό κοινό σημείο {\rm B}.

Δ. Για κάθε α,β ισχύει: \displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm B}} \right) = \rho \sqrt 2}



Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 346
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Mix 25

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Δευ Δεκ 05, 2016 11:32 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται η εξίσωση Z:{x^2} + {y^2} + \alpha x + 2\beta y - \alpha \beta = 0,,,,\beta \ne 0 } και η ευθεία \displaystyle{\varepsilon :\alpha x - 2\beta y = 0} η οποία σχηματίζει με τον άξονα \displaystyle{x'x } γωνία \displaystyle{\omega \ne \frac{{3\pi }}{4}}. Να αποδειχτεί ότι:

Α. Η εξίσωση Z παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ.

Β. Η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο Z αν και μόνο αν \alpha = 0.

Γ. Για β σταθερό οι κύκλοι Z έχουν μοναδικό κοινό σημείο {\rm A} και για α σταθερό οι κύκλοι Z έχουν μοναδικό κοινό σημείο {\rm B}.

Δ. Για κάθε α,β ισχύει: \displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm B}} \right) = \rho \sqrt 2}
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Α. Κατά τα γνωστά η Z παριστάνει κύκλο με κέντρο το K\left (-\dfrac{\alpha }{2}, \beta \right ) και ακτίνα \rho =\dfrac{\left | \alpha +2\beta \right |}{2}.

B.Η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο Z αν και μόνο αν d\left ( K,\varepsilon \right )=\rho \Leftrightarrow \dfrac{\left | \alpha (-\frac{\alpha }{2}) -2\beta (-\beta )\right |}{\sqrt{\alpha ^2+4\beta ^2}}=   \dfrac{  \left | \alpha +2\beta \right |}{2} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left |\alpha +2\beta \right |\left ( \left | \alpha -2\beta \right | \right-\sqrt{\alpha ^2+4\beta ^2} )= 0 .
Ο συντελεστής διευθύνσεως της ευθείας είναι \lambda _{\varepsilon }=\varepsilon \varphi \omega =\dfrac{\alpha }{2\beta } και επειδή \varepsilon \varphi \omega \neq -1 ισχύει \alpha +2\beta \neq 0.

Άρα \left |\alpha -2\beta \right |=\sqrt{\alpha ^2+4\beta ^2} \Leftrightarrow \alpha =0, αφού \beta \ne 0.

Γ. α) Έστω \beta : σταθερό.
Για \alpha = 0 έχουμε τον κύκλο Z_{1}:x^2+y^2+2\beta y=0 (1)
Για \alpha = \beta έχουμε τον κύκλο Z_{2}:x^2+y^2+\beta x+2\beta y- \beta ^2 =0 (2)

Λύνοντας το σύστημα των (1) και (2) βρίσκουμε το κοινό σημείο A(\beta, -\beta)των Z_{1} , Z_{2}.
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της οικογένειας των κύκλων Z επαληθεύουμε ότι το A είναι το μοναδικό κοινό τους σημείο.

β) Έστω \alpha : σταθερό.
Για \beta = 1 έχουμε τον κύκλο Z_{3}:x^2+y^2+\alpha x+2y-\alpha =0 (3)
Για \beta=\alpha έχουμε τον κύκλο Z_{4}:x^2+y^2+\alpha x+2\alpha  y- \alpha^2 = 0 (4)

Λύνοντας το σύστημα των (3) και (4) βρίσκουμε το κοινό σημείο B(-\dfrac{\alpha}{2},\dfrac{\alpha}{2})των Z_{3} , Z_{4}.
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της οικογένειας των κύκλων Z επαληθεύουμε ότι το B είναι το μοναδικό κοινό τους σημείο.

Δ. Είναι \left ( AB \right )=\sqrt{\left (\beta +\dfrac{\alpha }{2} \right )^2+ \left (-\beta -\dfrac{\alpha }{2} \right )^2}= \sqrt{2 \left (\beta +\dfrac{\alpha }{2} \right )^2}=\sqrt{2}\dfrac{\left | \alpha +2\beta \right |}{2}=\sqrt{2}\rho .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης