Γεωμετρική

erxmer · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC

και η διάμεσος

. Έστω σημείο

στην πλευρά

ώστε $\displaystyle{\vec{AE}=\frac{3}{5}\vec{AC}}$ και σημείο

στη διάμεσο

ώστε $\displaystyle{\vec{AD}=\frac{3}{4}\vec{AM}}$

1) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\vec{BD}=\frac{3}{8}\vec{AC}-\frac{5}{8}\vec{AB}\,\,,\vec{BE}=\frac{3}{5}\vec{AC}-\vec{AB}}$ .

2) Να αποδείξετε ότι τα σημεία B,D,E

είναι συνευθειακά.

3) Αν

μέσο της διαμέσου

και

σημείο ώστε $\displaystyle{vec{BZ}=\frac{2}{5}\vec{BD}}$ να δειχθεί ότι το τετράπλευρο RZME

είναι παραλληλόγραμμο.

4) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x^2+\sqrt{8|\vec{AM}|} \cdot x +|\vec{AB}|+|\vec{AC}|>0\,\,\,, \forall x \in R}$ .

Σταμ. Γλάρος · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται τρίγωνο και η διάμεσος . Έστω σημείο στην πλευρά ώστε $\displaystyle{\vec{AE}=\frac{3}{5}\vec{AC}}$ και σημείο στη διάμεσο ώστε $\displaystyle{\vec{AD}=\frac{3}{4}\vec{AM}}$

1) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\vec{BD}=\frac{3}{8}\vec{AC}-\frac{5}{8}\vec{AB}\,\,,\vec{BE}=\frac{3}{5}\vec{AC}-\vec{AB}}$ .

2) Να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

3) Αν μέσο της διαμέσου και σημείο ώστε $\displaystyle{vec{BZ}=\frac{2}{5}\vec{BD}}$ να δειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

4) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x^2+\sqrt{8|\vec{AM}|} \cdot x +|\vec{AB}|+|\vec{AC}|>0\,\,\,, \forall x \in R}$ .

Καλησπέρα

και χρόνια πολλά!

: Γεωμετρική.png (12.53 KiB) Προβλήθηκε 1028 φορές

1) Είναι $\displaystyle{\vec{BD}= \vec{AD} - \vec{AB}= \frac{3}{4}\vec{AM}-\vec{AB}=\frac{3}{4} \frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2} - \vec{AB} = \frac{3}{8} \vec{AC} - \frac{5}{8} \vec{AB} .$
Άρα $8\vec{BD}= 3\vec{AC} - 5\vec{AB}.$ (1)

Επίσης $\displaystyle{\vec{BE}= \vec{AE} - \vec{AB} = \frac{3}{5} \vec{AC} - \vec{AB} .$
Άρα $5\vec{BE}= 3\vec{AC} - 5\vec{AB}.$ (2)

2) Από τις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι $8\vec{BD} = 5\vec{BE}.$ Άρα τα σημεία B,D,E

είναι συνευθειακά.

3) $\vec{DM} = \dfrac{1}{4}\vec{AM}$ και $\vec{PD} =\vec{PM}+\vec{MD} =\vec{PM}-\vec{DM} = \dfrac{1}{2}\vec{AM} - \dfrac{1}{4}\vec{AM} = \dfrac{1}{4}\vec{AM}.$
Άρα $|\vec{DM} |= |\vec{PD} |$

Τώρα έχουμε: $\displaystyle{\vec{ZD}= \vec{BD} - \vec{BZ}= \vec{BD}- \frac{2}{5}\vec{BD}=\frac{3}{5} \vec{BD} = \frac{3}{5}\left ( \dfrac{3}{8}\vec{AC} - \dfrac{5}{8}\vec{AB}\right ) = \dfrac{9}{40}\vec{AC} - \dfrac{3}{8}\vec{AB} .$

Επίσης $\displaystyle{\vec{DE}= \vec{BE} - \vec{BD}= \frac{3}{5}\vec{AC}- \vec{AB}- \frac{3}{8}\vec{AC} + \frac{5}{8}\vec{AB} = \dfrac{9}{40}\vec{AC} - \dfrac{3}{8}\vec{AB} .$

Άρα $|\vec{ZD} |= |\vec{DE} |$ . Επομένως PZME:

παραλληλόγραμμο, αφού οιι διαγώνιοί του διχοτομούνται.

4) Από την δευτεροβάθμια ανίσωση προκύπτει:
$\Delta = 8 \left | \vec{AM} \right |- 4\left ( \left | \vec{AB} \right |+\left | \vec{AC} \right | \right )= 4\left [ \left | 2\vec{AM} \right |- \left ( \left | \vec{AB} \right |+\left | \vec{AC} \right | \right ) \right ] = = 4 \left [ \left |\vec{AB}+\vec{AC} \right |- \left | \vec{AB} \right |- \left | \vec{AC} \right |\right ]<0,$
από τριγωνική ανισότητα.
Συνεπώς η ανισότητα ισχύει.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Γεωμετρική

Γεωμετρική

Re: Γεωμετρική

Μέλη σε σύνδεση