Ακριβώς 16

KARKAR · #1

: Ακριβώς 16.png (15.22 KiB) Προβλήθηκε 941 φορές

$\bigstar$ Κύκλος με κέντρο το K(4,2)

τέμνει τον

στα

και την ευθεία $y=\dfrac{4}{3}x$ ,

στα D , C

. Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου , ώστε να είναι : (ABCD)=16

.

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 09, 2022 11:12 am Ακριβώς 16.png $\bigstar$ Κύκλος με κέντρο το τέμνει τον στα και την ευθεία $y=\dfrac{4}{3}x$ ,

στα . Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου , ώστε να είναι : .

Αν

είναι η ακτίνα του κύκλου, η εξίσωσή του είναι $\displaystyle {(x - 4)^2} + {(y - 2)^2} = {R^2}$

και για y=0

είναι $\displaystyle A\left( {4 - \sqrt {{R^2} - 4} ,0} \right),B\left( {4 + \sqrt {{R^2} - 4} ,0} \right)$

: 16 ακριβώς.png (16.04 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές

$\displaystyle KP = d(K,OC) = \frac{{|4 \cdot 4 - 3 \cdot 2|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 2,$ άρα η

διχοτομεί την $B\widehat OC$ και $AB = DC \Leftrightarrow$

$\widehat B = \widehat C.$ Στο τρίγωνο BOC

είναι $\displaystyle \tan (B\widehat OC) + 2\tan B = \tan (B\widehat OC) \cdot {\tan ^2}B\mathop \Leftrightarrow \limits^{\tan (B\widehat OC) = \frac{4}{3}}$ $\boxed{\tan B=2}$

Θέτω $\displaystyle BM = x \Leftrightarrow OM = 2x = BC$ και με Π. Θ στο OBM

είναι:

$\displaystyle 5{x^2} = {\left( {4 + \sqrt {{R^2} - 4} } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{{\left( {4 + \sqrt {{R^2} - 4} } \right)}^2}}}{5} \Leftrightarrow B{C^2} = \frac{4}{5}{\left( {4 + \sqrt {{R^2} - 4} } \right)^2}$

$\displaystyle (OBC) = \frac{{OM \cdot BC}}{2} = \frac{{B{C^2}}}{2} = \frac{2}{5}{\left( {4 + \sqrt {{R^2} - 4} } \right)^2}$ και ομοίως $\displaystyle (OAD) = \frac{2}{5}{\left( {4 - \sqrt {{R^2} - 4} } \right)^2}$

$\displaystyle (ABCD) = 16 \Leftrightarrow (OBC) - (OAD) = 16 \Leftrightarrow \frac{2}{5}\left( {16\sqrt {{R^2} - 4} } \right) = 16 \Leftrightarrow$ $\boxed{ R = \frac{{\sqrt {41} }}{2}}$

Πιθανόν να υπάρχει γρηγορότερη λύση.

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 09, 2022 11:12 am Ακριβώς 16.png $\bigstar$ Κύκλος με κέντρο το τέμνει τον στα και την ευθεία $y=\dfrac{4}{3}x$ ,

στα . Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου , ώστε να είναι : .

Επειδή

και η απόσταση του

από τον οριζόντιο άξονα είναι 2 τα αποστήματα προς τις χορδές $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ είναι ίσα

Άρα και οι χορδές είναι ίσες με άμεση συνέπεια OA = OD

. Ας είναι τώρα $\left\{ \begin{gathered} D\left( {a,\frac{{4a}}{3}} \right) \hfill \\ C\left( {b,\frac{{4b}}{3}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,,\,\,\,\,0 < a < b$ .

Θα είναι $\left\{ \begin{gathered} OA = OD = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{16{a^2}}}{9}} = \dfrac{{5a}}{3} \hfill \\ OB = OC = \frac{{5b}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ . Η εξίσωση του κύκλου γράφεται : ${x^2} + {y^2} - 8x - 4y + k = 0$ .

: Ακριβώς 16.png (20.6 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές

Οι τετμημένες a,b

είναι οι ρίζες της εξίσωσης που προκύπτει από τη λύση του συστήματος : $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} - 8x - 4y + k = 0 \hfill \\ y = \dfrac{{4x}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 25{x^2} - 120x + 9k = 0$

Άρα , $\left\{ \begin{gathered} a + b = \dfrac{{24}}{5} \hfill \\ ab = \dfrac{{9k}}{{25}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + b = \dfrac{{24}}{5}\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ k = \dfrac{{25ab}}{9}\,\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ,

Τώρα το εμβαδόν του τραπεζίου ABCD

, έστω

, είναι και λόγω της $\left( 1 \right)$ : $E = \dfrac{1}{2}OB \cdot \dfrac{{4b}}{3} - \dfrac{1}{2}OA \cdot \dfrac{{4a}}{3} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{{5{b^2}}}{3} - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{{5{a^2}}}{3} = \dfrac{{10}}{9}\left( {{b^2} - {a^2}} \right)$ .

Η εξίσωση αυτή , $E = \dfrac{{10}}{9}\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = 16$ λόγω της $\left( 2 \right)$ δίδει: $\left\{ \begin{gathered} a = \dfrac{9}{{10}} \hfill \\ b = \dfrac{{39}}{{10}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και λόγω της $\left( 3 \right)$ , $k = \dfrac{{39}}{4}$ δηλαδή ο κύκλος είναι:

${x^2} + {y^2} - 8x - 4y + \dfrac{{39}}{4} = 0$ με ακτίνα $\boxed{R = \dfrac{1}{2}\sqrt {64 + 16 - 39} = \dfrac{1}{2}\sqrt {41} }$

nickchalkida · #4

Είναι $CB \parallel DA$ όπως σωστά δικαιολόγησε ο Νίκος παραπάνω. Επειδή τώρα $\tan \theta = \dfrac{1}{2} \rightarrow \cos \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$
θα είναι $OE = a \cos \theta =\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$ και $EA^2 = OA^2 - OE^2 \rightarrow EA = \dfrac{a}{\sqrt{5}}$ , και τότε

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{(OCB)}{(ODA)} = \dfrac{16}{\dfrac{2a^2}{5}} \rightarrow b^2 - a^2 = 40 \cr & OEA \sim OMK \rightarrow \dfrac{\dfrac{a+b}{2}}{\sqrt{20}} = \dfrac{\dfrac{2a}{\sqrt{5}}}{a} \rightarrow a+b = 8 \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow \left\{ \begin{aligned} & a = \dfrac{3}{2} \cr & b = \dfrac{13}{2} \cr \end{aligned} \right. }$

άρα $KA = \sqrt{\left(4-{3\over 2}\right)^2 + 2^2}=\dfrac{\sqrt{41}}{2}$

Ακριβώς 16

Ακριβώς 16

Re: Ακριβώς 16

Re: Ακριβώς 16

Re: Ακριβώς 16

Μέλη σε σύνδεση