Υπερβολή σε πλάγια θέση

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Στο επισυνημμένο σχήμα δίνεται μια γραφική παράσταση της καμπύλης $h\colon y=\frac{1}{x}$
Δίνεται ότι η καμπύλη αυτή είναι μια υπερβολή.
α) Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση να αναγνωρίσετε τις ασύμπτωτες της

και να γράψετε τις εξισώσεις τους.
Ποιοι είναι οι άξονες συμμετρίας της

?
β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών $A^\prime,A$ της

και κατόπιν να υπολογίσετε την απόστασή τους

γ) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των εστιών $E^\prime,E$ της

δ) Αν

είναι σημείο της

, να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της

στο

είναι η

ε) Έστω

οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου. Να αποδειχθεί ότι η

είναι όντως μια υπερβολή αποδεικνύοντας την ισοδυναμία
$M\in h\Leftrightarrow|ME-ME^\prime|=2a$

Edit: Κάθε λύση ευπρόσδεκτη, αλλά η άσκηση μπορεί να επιλυθεί αξιοποιώντας αποκλειστικά πληροφορίες και τεχνικές που αναφέρονται στην (ή μεχρι και την) παράγραφο "3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ" του σχολικού βιβλίου.

Tolaso J Kos · #2

Η υπερβολή $y=\frac{1}{x}$ παίρνει τη μορφή xy-1=0

. Το γινόμενο υποδηλώνει ότι η κωνική τομή μας έχει στραφεί κατά γωνία $\varphi$ για την οποία ισχύει $\tan 2 \varphi = \infty$ και κατά συνέπεια $\varphi = \frac{\pi}{4}$ . Άρα, η ισοσκελής υπερβολή μας έχει προκύψει από την $\mathcal{H}: \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ ύστερα από περιστροφή γωνίας $\omega = \frac{\pi}{4}$ . Πλέον, οι εστίες της θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=x

.

Οι εστίες της $\mathcal{H}$ είναι οι $\mathrm{E}'(-2, 0)$ και $\mathrm{E}(2,0)$ . Συνεπώς, οι εστίες της υπερβολής μας (αφού στραφούν κατά γωνία $\omega= \frac{\pi}{4}$ ) είναι τα σημεία $\mathrm{A}' \left( -\sqrt{2}, -\sqrt{2} \right)$ , $\mathrm{A} \left( \sqrt{2}, \sqrt{2} \right)$ .

Όλα τα παραπάνω βρίσκονται σε βιβλία Αναλυτικής Γεωμετρίας στο κεφάλαιο των κωνικών τομών. Μπορεί βέβαια κάποιος να δει και εδώ μερικά πράγματα.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Απρ 24, 2024 1:07 pm Η υπερβολή $y=\frac{1}{x}$ παίρνει τη μορφή . Το γινόμενο υποδηλώνει ότι η κωνική τομή μας έχει στραφεί κατά γωνία $\varphi$ για την οποία ισχύει $\tan 2 \varphi = \infty$ και κατά συνέπεια $\varphi = \frac{\pi}{4}$ . Άρα, η ισοσκελής υπερβολή μας έχει προκύψει από την $\mathcal{H}: \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ ύστερα από περιστροφή γωνίας $\omega = \frac{\pi}{4}$ . Πλέον, οι εστίες της θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία .

Οι εστίες της $\mathcal{H}$ είναι οι $\mathrm{E}'(-2, 0)$ και $\mathrm{E}(2,0)$ . Συνεπώς, οι εστίες της υπερβολής μας (αφού στραφούν κατά γωνία $\omega= \frac{\pi}{4}$ ) είναι τα σημεία $\mathrm{A}' \left( -\sqrt{2}, -\sqrt{2} \right)$ , $\mathrm{A} \left( \sqrt{2}, \sqrt{2} \right)$ .

Όλα τα παραπάνω βρίσκονται σε βιβλία Αναλυτικής Γεωμετρίας στο κεφάλαιο των κωνικών τομών. Μπορεί βέβαια κάποιος να δει και εδώ μερικά πράγματα.

Κατ' αρχάς, ένσταση σε ό,τι αφορά την αρτιότητα της απάντησης δεν υπάρχει.

Ωστόσο ας σημειωθεί ότι η άσκηση (όλα τα ερωτήματα της) μπορεί να επιλυθεί αξιοποιώντας αποκλειστικά θεωρήματα και τεχνικές που αναφέρονται στην παράγραφο "3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ" του σχολικού βιβλίου των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Β' Λυκείου.

Tolaso J Kos · #4

Θέλω να δω μία λύση με σχολική ύλη. Επαναφορά.

#5

Αρχίζοντας από την

$|\sqrt{(x-p)^2+(y-p)^2}-\sqrt{(x+p)^2+(y+p)^2}|=2a$

υψώνουμε στο τετράγωνο ώστε να λάβουμε την

$x^2+y^2+2p^2-2a^2=\sqrt{x^2+y^2+2p^2-2p(x+y)}\cdot \sqrt{x^2+y^2+2p^2+2p(x+y)},$

οπότε νέα ύψωση στο τετράγωνο οδηγεί στην

(p^2-a^2)(x^2+y^2)+2p^2xy+(a^4-2a^2p^2)=0

,

άρα

και $\dfrac{2a^2p^2-a^4}{2p^2}=1$ και συνεπώς $p=\sqrt{2}.$

[Απόλυτα τετριμμένο από καθαρά μαθηματικής πλευράς, χρησιμότατο όμως από διδακτικής σκοπιάς ... διότι κάνει τον μαθητή να 'πιστέψει' την γενικότερη απόδειξη πάραξης* της εξίσωσης της υπερβολής! Θα μπορούσε, πιθανώς θα έπρεπε, να διδάσκεται ΠΡΙΝ την γενική απόδειξη, ακόμη και να δίνεται στους μαθητές ως 'μετά βοηθείας άσκηση', κλπ κλπ]

*δεν διστάζω πλέον να χρησιμοποιώ την "πάραξη"

#6

gbaloglou έγραψε: Τρί Ιουν 18, 2024 11:53 am Αρχίζοντας από την

$|\sqrt{(x-p)^2+(y-p)^2}-\sqrt{(x+p)^2+(y+p)^2}|=2a$

υψώνουμε στο τετράγωνο ώστε να λάβουμε την

$x^2+y^2+2p^2-2a^2=\sqrt{x^2+y^2+2p^2-2p(x+y)}\cdot \sqrt{x^2+y^2+2p^2+2p(x+y)},$

οπότε νέα ύψωση στο τετράγωνο οδηγεί στην

,

άρα και $\dfrac{2a^2p^2-a^4}{2p^2}=1$ και συνεπώς $p=\sqrt{2}.$

Όταν λοιπόν ισχύει η $a=\pm p,$ όπου $(\pm p, \pm p)$ οι εστίες της υπερβολής, λαμβάνουμε την υπερβολή $xy=\dfrac{p^2}{2}.$

Τι γίνεται όμως όταν δεν ισχύει η $a=\pm p;$ Εδώ ελλοχεύουν κίνδυνοι, χαρακτηριστικοί συνοδοί της εις τετράγωνον ύψωσης! Ξαναγράφοντας την παραπάνω βασική εξίσωση της κωνικής ως

(p^2-a^2)y^2+(2p^2x)y+[(a^4-2a^2p^2)+(p^2-a^2)x^2]=0

συμπεραίνουμε ότι έχουμε λύσεις αν και μόνον αν

$(2p^2-a^2)(x^2+p^2-a^2)\geq 0:$

αυτό ισχύει πάντοτε αν p>a

(όντως υπερβολή), για μεγάλο |x|

όταν $\sqrt{2}p>a>p$ (υπερβολή και πάλι), και για μικρό |x|

όταν $a>\sqrt{2}p$ (έλλειψη)! (Δείτε συνημμένο ... με p=1

και $a=\dfrac{1}{2}, a=\dfrac{4}{3}, a=2.$ )

Η παραπάνω περίπτωση της έλλειψης απλώς αντιστοιχεί σε μη ύπαρξη της ζητούμενης υπερβολής: η 'παρείσακτη' έλλειψη προκύπτει από τις υψώσεις στο τετράγωνο, μπορούμε πχ να ελέγξουμε -- με λογισμικό ή χωρίς (τριγωνική ανισότητα) -- ότι η $|\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}-\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}|=2\cdot 2$ ( p=1, a=2

) ... πολύ απλά δεν υπάρχει.

Ανακεφαλαιώνοντας, σε σχολικά πλαίσια πάντα και χωρίς χρήση στροφής 45 μοιρών κλπ ... βλέπουμε ότι έχουμε 'πλήρη' υπερβολή με άξονα y=x

για

γενικεύσεις της xy=1

για

'μερική' υπερβολή με άξονα y=x

για $p<a<\sqrt{2}p.$

: συμμετρικές-διαγώνιες-εστίες.png (76 KiB) Προβλήθηκε 1011 φορές

#7

H παρούσα 'σχολική' προσέγγιση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την μελέτη της κωνικής px^2+qxy+ry^2=1,

όπου

που συζητήθηκε εδώ. Πράγματι, ξαναγράφοντας την ως

ry^2+(qx)y+(px^2-1)=0,

παρατηρούμε ότι υπάρχει λύση ως προς

αν και μόνον αν $(q^2-4pr)x^2+4r\geq 0:$ αυτή η συνθήκη ισχύει για κάθε

αν

(υπερβολή*) και για $|x|\leq\dfrac{4r}{4pr-q^2}$ αν q^2-4pr<0

(έλλειψη), ενώ βεβαίως για q^2-4pr=0

λαμβάνουμε το ζεύγος ευθειών $\sqrt{p}x+\sqrt{r}y=\pm 1.$

*'πλήρης' υπερβολή καθώς η διακρίνουσα (q^2-4pr)x^2+4r

είναι θετική για κάθε

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #8

Κύριε Μπαλόγλου, σας ευχαριστώ για τη λύση, αλλά και για τις προεκτάσεις που δώσατε που δείχνουν ότι το παρόν πρόβλημα "σηκώνει" και ένα edition έλλειψης και γιατί όχι και παραβολής.

Παραθέτω και τη δική μου εκδοχή.

ΛΥΣΗ ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ

α) Παρατηρούμε ότι οι ασύμπτωτες της

είναι οι ευθείες $\begin{cases}y&=0\\ x&=0\end{cases}$
Οι άξονες συμμετρίας της

είναι οι ευθείες που διχοτομούν τις γωνίες
που σχηματίζουν οι ασύμπτωτες δηλαδή οι $\varepsilon_{\pm}\colon y=\pm x$

β) Οι κορυφές της υπερβολής είναι τα σημεία τομής της $\varepsilon_{+}$ με την

οπότε $A^\prime(-1,-1)$ και Α(1,1)

και συνεπώς $\alpha=\dfrac{d(A^\prime,A)}{2}=\sqrt{2}$

γ) Από τους τύπους των ασυμπτώτων στην παράγραφο 3.4 του σχολικού βιβλίου
(http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547 ... ex3_4.html)

ξέρουμε ότι η εφαπτομένη των γωνιών που σχηματίζει η $\varepsilon_{+}$ με τις ασύμπτωτες είναι ίση με $\dfrac{\beta}{\alpha}$ και ότι αυτές οι γωνίες είναι ίσες με το ήμισυ της γωνίας που σχηματίζουν οι ασύμπτωτες η οποία είναι στην περίπτωση μας είναι ορθή. Οπότε $\dfrac{\beta}{\alpha}=\varepsilon\phi45^o$ και συνεπώς $\beta$ $=\alpha$ $=\sqrt{2}$ (δηλαδή έχουμε ισοσκελή υπερβολή) οπότε $\gamma=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}=2$

Γνωρίζοντας το $\gamma$ και αφού οι εστίες είναι σημεία της $\varepsilon_{+}$ οι συντεταγμένες τους θα είναι $E^\prime(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ , $E(\sqrt{2},\sqrt{2})$

δ) Το ερώτημα αυτό μπορεί να λυθεί εύκολα αν υπολογίσουμε το συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας υπό τη συνθήκη να διέρχεται από το

χωρίς να έχει άλλο κοινό σημείο με την υπερβολή.

Θα απαντήσουμε στο ερώτημα όμως με έναν πολυπλοκότερο αλλά λιγότερο βαρετό τρόπο.
Η προτεινόμενη ευθεία διέρχεται από το σημείο

και είναι κάθετη στο διάνυσμα $\vec{n}=\{y_o,x_o\}$
Από την ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής, η εφαπτόμενη στο

πρέπει να είναι παράλληλη στο διάνυσμα $\vec{w}=|\overrightarrow{KE}|\cdot\overrightarrow{KE^\prime}+|\overrightarrow{KE^\prime}|\cdot\overrightarrow{KE}$ που είναι παράλληλο στη διχοτόμο της $\angle E^\prime KE$
(Άσκηση Β3, παράγραφος 1.5 στο σχολικό βιβλίο
http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547 ... ex1_5.html)

οπότε το ζητούμενο θα προκύψει άμεσα αν δείξουμε ότι $\vec{n}\perp \vec{w}$
Είναι $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\vec{w}\cdot \vec{n}$ $=...=-|\overrightarrow{KE}|(x_o+y_o+\sqrt{2})+|\overrightarrow{KE^\prime}|(x_o+y_o-\sqrt{2})$
Λαμβάνοντας υπ' όψιν ότι $xy=1\Rightarrow (x+\sqrt{2})^2+(y+\sqrt{2})^2=(x+y+\sqrt{2})^2$
βρίσκουμε $|\overrightarrow{KE^\prime}|^2=(x_o+y_o+\sqrt{2})^2$ και $|\overrightarrow{KE}|^2=(x_o+y_o-\sqrt{2})^2$
οπότε επειδή $(x_o+y_o+\sqrt{2})(x_o+y_o-\sqrt{2})>0$ έπεται το ζητούμενο

ε) Έστω P(x,y)

ένα σημείο του επιπέδου.

Θα δείξουμε ότι αν το

ανήκει στην υπερβολή με εστίες τα $E,E^\prime$ και $\alpha=\sqrt{2}$ τότε θα είναι σημείο της καμπύλης

$|d(P,E)-d(P,E^\prime)|=2\alpha$ $\Leftrightarrow\sqrt{(x-\sqrt{2})^2+(y-\sqrt{2})^2}=\sqrt{(x+\sqrt{2})^2+(y+\sqrt{2})^2}{\color{red}\pm} 2\sqrt{2}$

Η περίπτωση ${\color{red}+}$ μπορεί ισοδύναμα να υψωθεί στο τετράγωνο.
Πράττοντας ούτως λαμβάνουμε αφ' ενός:

$-x-y-\sqrt{2}=\sqrt{(x+\sqrt{2})^2+(y+\sqrt{2})^2}$
και αφ' ετέρου ότι τουλάχιστον ένα εκ των x,y

θα είναι αρνητικό

Υψώνοντας εκ νέου στο τετράγωνο βρίσκουμε

xy=1

και

Ανάλογα η περίπτωση ${\color{red}-}$ (αφού πρώτα μεταφέρουμε το $2\sqrt{2}$ στο πρώτο μέλος)
καταλήγει στο xy=1

και

Αντίστροφα, έστω ότι το

είναι σημείο της

οπότε

και τα

θα είναι ομόσημα. Διακρίνουμε περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν x,y<0

τότε είναι απλό να δείξουμε ότι $x+y\le -2$
Με αυτή την ανισότητα μπορούμε να αντιστρέψουμε τον δεύτερο τετραγωνισμό που έγινε στο ορθό και εν τέλει να δείξουμε ότι το

είναι σημείο της υπερβολής με εστίες τα $E,E^\prime$ και $\alpha=\sqrt{2}$

$\bullet$ Ανάλογα εργαζόμαστε για x,y>0

Κατά συνέπεια, η καμπύλη

ταυτίζεται με την υπερβολή που έχει εστίες τα σημεία $E,E^\prime$ και $\alpha=\sqrt{2}$ $\blacksquare$

Υπερβολή σε πλάγια θέση

Υπερβολή σε πλάγια θέση

Re: Υπερβολή σε πλάγια θέση

Re: Υπερβολή σε πλάγια θέση

Re: Υπερβολή σε πλάγια θέση

Re: Υπερβολή σε πλάγια θέση

Re: Υπερβολή σε πλάγια θέση

Re: Υπερβολή σε πλάγια θέση

Re: Υπερβολή σε πλάγια θέση

Μέλη σε σύνδεση