Υπερβολικό εμβαδόν

#1

: Υπερβολικό εμβαδόν.png (36.73 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Σημείο

κινείται στο δεξιό κλάδο της υπερβολής με εξίσωση $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.$ Η εφαπτομένη της υπερβολής στο

τέμνει

τις ασύμπτωτες στα P, T.

Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου OPT

είναι σταθερό ανεξάρτητο από τη θέση του

48 ώρες μόνο για μαθητές.

KARKAR · #2

: Σταθερό εμβαδόν υπερβολής.png (14.82 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

Επειδή η γωνία $\widehat{TOP}$ είναι σταθερή ( και γνωστή ) , αρκεί να είναι σταθερό το γινόμενο : $OT\cdot OP$ ,

η ακόμα πιο απλά το γινόμενο : $OT'\cdot OP'$ . ( Οι μαθητές δεν θα δυσκολευτούν στις πράξεις ) .

Ας θυμηθούμε εδώ την άσκηση 4 , σελ. 110 του σχολικού βιβλίου της Γ' : Αν η εφαπτομένη της υπερβολής

$f(x)=\dfrac{1}{x}$ , σε μεταβλητό σημείο

, τέμνει τους άξονες στα σημεία A , B

, τότε το

είναι σταθερό .

#3

Η άσκηση υπάρχει ( λυμένη ή άλυτη ) σε όλα σχεδόν τα βιβλία Αναλυτικής Γεωμετρίας .

Έχει τεθεί σε εισαγωγικές εξετάσεις αλλά για ισοσκελή υπερβολή ( $y = \dfrac{1}{x}$ ) παλιότερα.

kfd · #4

Aν $S(x_{1},y_{1})$ ισχύει $\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$ (1) και η εφαπτομένη σ' αυτό έχει εξίσωση $\frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1$ , ενώ οι ασύμπτωτες έχουν εξισώσεις $y=\pm \frac{b}{a}x$ . Tα 2 (Σ) της εφαπτομένης με τις ασύμπτωτες έχουν λύσεις: $T(\frac{a^{2}b}{x_{1}b-y_{1}a},\frac{b^{2}a}{x_{1}b-y_{1}a})$ και $P(\frac{a^{2}b}{x_{1}b+y_{1}a},\frac{b^{2}a}{x_{1}b+y_{1}a}).$ Οι παρονομαστές δεν είναι 0 γιατί η εφαπτομένη δεν είναι παράλληλη στις ασύμπτωτες. Ισχύει $(OPT)=\frac{1}{2}\left | det(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OT}) \right |=\frac{a^{3}b^{3}}{\left | x_{1}^{2} b^{2}-a^{2}y_{1}^{2}\right |}=ab$ , αφού από την (1) $x_{1}^{2}b^{2}-a^{2}y_{1}^{2}=a^{2}b^{2}.$ Άρα εμβαδόν σταθερό (ανεξάρτητο των $x_{1},y_{1}).$
Eυχαριστώ.

Υπερβολικό εμβαδόν

Υπερβολικό εμβαδόν

Re: Υπερβολικό εμβαδόν

Re: Υπερβολικό εμβαδόν

Re: Υπερβολικό εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση