Ακέραιες λύσεις (1)

Συντονιστής: chris_gatos

Απάντηση
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1750
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Ακέραιες λύσεις (1)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis »

ΠΕΡΤΤΑ
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος orestisgotsis την Παρ Φεβ 23, 2024 12:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ετικέτες:
000000000000
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Ch.Chortis
Δημοσιεύσεις: 263
Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
Τοποθεσία: Ελλαδιστάν

Re: Ακέραιες λύσεις (1)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ch.Chortis »

orestisgotsis έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των ακεραίων η εξίσωση: \displaystyle{xyz = xy + yz + zx}
Υπάρχει πρόβλημα να τη λύσει ένας μαθητής(βλέπω το φάκελλο για αυτό το λέω);
Ζητάω συγγνώμη αν ισχύει κάτι τέτοιο,για αυτό το λόγο βάζω σε hide την απάντησή μου.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορώ να θέσω:
|x|\leq |y\leq |z| (\bigstar)
Έστω x=0 τότε η σχέση μας γίνεται:
0+0yz=0yz \Leftrightarrow yz=0
Όπως είναι εύκολο να καταλάβετε οτι είτε και οι δύο θα είναι ίσοι με το μηδέν,δηλαδή όλες οι μεταβλητές παίρνουν μηδενική τιμή,ή ο z(λόγω \bigstar)
θα είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός ενώ y=0.
Άρα δύο ζεύγη λύσεων: (x,y,z)=(0,0,0)=(0,0,a)~o\pi ou~a\in \Bbb {Z}
Διαιρώντας δια xyz(μπορούμε να το κάνουμε αφού τελειώσαμε με τα "μηδενικά") έχουμε:
\dfrac {1} {x}+\dfrac {1} {y}+\dfrac {1} {z}=1 (\star).
Έστω x=1
Τότε θα πρέπει να ισχύει: \displaystyle \frac {1} {z}+\frac {1} {y}=0 \Leftrightarrow \frac {1} {z}=-\frac {1} {y} \Leftrightarrow z=-y
Άρα τα μόνα ζεύγη λύσεων είναι τα:
(x,y,z)=(1,b,a)~o\pi ou~b=-a,~b\in \Bbb {Z}
Έστω x=2.
Αν y\geq 5 τότε (και πάλι λόγω της \bigstar εν μέρει)
\max {\dfrac {1} {x}+\dfrac {1} {z}+\dfrac {1} {y}}=\dfrac {1} {2}+\dfrac {1} {5}+\dfrac {1} {5}=\dfrac {9} {10}<1
Άρα αποκλείεται να ισχύει κάτι τέτοιο.
Αν επίσης z<0
τότε επειδή:
\max{\dfrac {1} {x}+\dfrac {1} {y}}=\dfrac {1} {2}+\dfrac {1} {2}=1
δηλαδή 1+\dfrac {1} {z}<0,άτοπο(z>0).
Ελέγχοντας για y=3 και y=4,μόνες επιτρεπτές σύμφωνα με τα παραπάνω,παίρνουμε τις λύσεις:
(x,y,z)=(2,3,6)=(2,4,4)
Αν x=3 τότε
\max {(\star)}=\dfrac {1} {3}+\dfrac {1} {3}+\dfrac {1} {3}=1
άρα:
(x,y,z)=(3,3,3)
Aν όμως x\geq 4τότε:
\max (\star)\leq 3\dfrac {1} {4}=\dfrac {3} {4}<1
άρα για τέτοια x δεν έχουμε λύση.
"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες