Από τη συνέχεια στη συμμετρία

#1

Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει:
$f(f(x))=x^2+1, \forall x \in \mathbb{R}$
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι άρτια.

#2

Τελικά αποκαλύφθηκε πως δεν υφίσταται τέτοια συνάρτηση και προς στήριξη αυτού του ισχυρισμού δόθηκε το παρακάτω άρθρο.
Ευχαριστώ τους Γιώργο Τσαβδαρίδη και Βασίλη Βισκαδουράκη για την εποικοδομητική συζήτηση.
https://www.jstor.org/stable/2321556

#3

chris_gatos έγραψε: Τετ Νοέμ 11, 2020 12:44 am Τελικά αποκαλύφθηκε πως δεν υφίσταται τέτοια συνάρτηση και προς στήριξη αυτού του ισχυρισμού δόθηκε το παρακάτω άρθρο.
Ευχαριστώ τους Γιώργο Τσαβδαρίδη και Βασίλη Βισκαδουράκη για την εποικοδομητική συζήτηση.
https://www.jstor.org/stable/2321556

Ποια συζήτηση;

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

Αχιλλέα εδώ:
https://m.facebook.com/groups/1190 ... 85739651/

Tolaso J Kos · #5

chris_gatos έγραψε: Τετ Νοέμ 11, 2020 12:44 am Τελικά αποκαλύφθηκε πως δεν υφίσταται τέτοια συνάρτηση και προς στήριξη αυτού του ισχυρισμού δόθηκε το παρακάτω άρθρο.
Ευχαριστώ τους Γιώργο Τσαβδαρίδη και Βασίλη Βισκαδουράκη για την εποικοδομητική συζήτηση.
https://www.jstor.org/stable/2321556

Χμμμ , επειδή την έχω ξανά πετύχει τη συναρτησιακή θυμάμαι ότι υπήρχε συνάρτηση

.

#6

chris_gatos έγραψε: Τετ Νοέμ 11, 2020 12:44 am Τελικά αποκαλύφθηκε πως δεν υφίσταται τέτοια συνάρτηση και προς στήριξη αυτού του ισχυρισμού δόθηκε το παρακάτω άρθρο.
Ευχαριστώ τους Γιώργο Τσαβδαρίδη και Βασίλη Βισκαδουράκη για την εποικοδομητική συζήτηση.
https://www.jstor.org/stable/2321556

Χρήστο, το άρθρο που παραθέτεις δεν δείχνει αυτό. Το άρθρο δείχνει π.χ. ότι:

«Δεν υπάρχει καμία συνάρτηση (συνεχής ή μη) $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ώστε f(f(z)

να είναι δευτεροβάθμιο πολυώνυμο.»

Από το $\mathbb{R}$ στο $\mathbb{R}$ σαφώς και υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις. Αν τώρα υπάρχουν και συνεχείς συναρτήσεις ώστε f(f(x)) = x^2+1

, αυτό είναι άλλη ιστορία.

#7

Ας δούμε και μια συνεχή συνάρτηση:

Ορίζω την ακολουθία $a_0,a_1,a_2,\ldots$ με a_0=0,a_1=1/2

και $a_{n} = a_{n-2}^2+1$ για $n \geqslant 2$ . Ορίζω επίσης τα διαστήματα $I_n = [a_n,a_{n+1}]$ για $n \geqslant 2$ και παρατηρώ ότι $x \in I_n \implies x^2+1 \in I_{n+2}$ και αντιστρόφως $x \in I_{n+2} \implies \sqrt{x-1} \in I_{n}$ .

Θα ορίσω τώρα συνεχή και γνησίως αύξουσα συνάρτηση

στο $\mathbb{R}_{\geqslant 0}$ ώστε $f(I_n) = I_{n+1}$ για κάθε $n \geqslant 0$ . Αργότερα θα ελέγξω ότι ικανοποιεί και τη συνθήκη

Προχωράω επαγωγικά.

Για $x \in I_0$ ορίζω f(x) = x+1/2

. Είναι όντως συνεχής, γνησίως αύξουσα με f(I_0) = I_1

. Έστω ότι έχω ήδη ορίσει τη συνάρτηση στα $I_0,I_1,\ldots,I_k$ . Τότε για $x \in I_{k+1}$ ορίζω $f(x) = f^{-1}(x)^2+1$ . Επειδή η

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο I_k

με $f(I_k) = I_{k+1}$ τότε όντως ορίζεται η αντίστροφη στο $I_{k+1}$ και μάλιστα είναι και γνησίως αύξουσα και συνεχής. Άρα και στο $I_{k+1}$ είναι επίσης γνησίως αύξουσα και συνεχής. Πρέπει επίσης να ελέγξω ότι στο $a_{k+1}$ την έχω ορίσει μονοσήμαντα. (Αφού ήδη την είχα ορισμένη εκεί και την όρισα ξανά.) Ήδη ίσχυε ότι $f(a_k) = a_{k+1}$ και $f(a_{k+1}) = a_{k+2}$ . Στο $a_{k+1}$ την όρισα ξανά ως $f^{-1}(a_{k+1})^2+1 = a_k^2+1 = a_{k+2}$ άρα είμαι εντάξει.

Τώρα που έχω ορίσει τη συνεχή μου συνάρτηση στο $\mathbb{R}_{\geqslant 0}$ την επεκτείνω στο $\mathbb{R}$ ορίζοντας f(x) = f(-x)

για

. Μένει να ελέγξω ότι f(f(x)) = x^2+1

για κάθε $x \geqslant 0$ . Αρκεί να το ελέγξω για τα μη αρνητικά

.

Αν $x \in I_n$ για $n \geqslant 0$ , τότε $f(x) \in I_{n+1}$ άρα $f(f(x)) = f^{-1}(f(x))^2+1 = x^2+1$ όπως θέλαμε.

#8

Δημήτρη σε ευχαριστώ πολύ για τον κόπο που έκανες. Το άρθρο που παρατέθηκε δεν ήταν δικό μου
αλλά δόθηκε για να πιστοποιήσει ότι δεν υπάρχει συνάρτηση που να ικανοποιεί τη δοθείσα σχέση.
Επειδή είχα βάλει την άσκηση εδώ, όπως συνηθίζω, θεώρησα σωστό να το δώσω άμεσα για δεοντολογικούς
λόγους. Δεν είχα προλάβει να το μελετήσω (θα χρειαζόμουν αρκετό χρόνο για αυτό)
Χάρηκα όταν έμαθα πως κατασκεύασες συνεχή συνάρτηση που επαληθεύει.
Καλή συνέχεια.

Από τη συνέχεια στη συμμετρία

Από τη συνέχεια στη συμμετρία

Re: Από τη συνέχεια στη συμμετρία

Re: Από τη συνέχεια στη συμμετρία

Re: Από τη συνέχεια στη συμμετρία

Re: Από τη συνέχεια στη συμμετρία

Re: Από τη συνέχεια στη συμμετρία

Re: Από τη συνέχεια στη συμμετρία

Re: Από τη συνέχεια στη συμμετρία

Μέλη σε σύνδεση