Μέγιστο εμβαδόν

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

Γιώργος Απόκης · #2

Eπαναφορά με σχήμα...

Νεφέλη · #3

Από τα ορθογώνια που έχουν παράλληλες πλευρές στη χορδή ΑΒ; Ή από όλα τα δυνατά ορθογώνια;

#4

Νεφέλη έγραψε:Από τα ορθογώνια που έχουν παράλληλες πλευρές στη χορδή ΑΒ; Ή από όλα τα δυνατά ορθογώνια;

ΚΑΙΡΙΑ η ερώτηση!

Σύμφωνα με τα συνημμένα, στην πρώτη περίπτωση (πλευρές παράλληλες προς την

) το εμβαδόν του τυχόντος εγγεγραμμένου ορθογωνίου ισούται προς

$2R^2[sin\theta cos\theta -\displaystyle\frac{cos^2\theta }{tan\alpha }]$ , όπου $\displaystyle\frac{\pi }{2}-\alpha <\theta <\displaystyle\frac{\pi }{2}$ ,

ενώ στην δεύτερη περίπτωση (πλευρές μη παράλληλες προς την

) το εμβαδόν του τυχόντος εγγεγραμμένου ορθογωνίου ισούται προς

$R^2[sin\phi cos\phi -\displaystyle\frac{sin^2\phi }{tan2\alpha }]$ , όπου $0<\phi <2\alpha$ .

(Ας παρατηρηθεί εδώ ότι στην δεύτερη περίπτωση απαιτείται η πρόσθετη συνθήκη $0<\alpha \leq \displaystyle\frac{\pi }{4}$ .)

Με παραγώγιση ή αλλιώς διαπιστώνουμε ότι στην πρώτη περίπτωση το μέγιστο εμβαδόν επιτυγχάνεται για $\theta =\displaystyle\frac{\pi }{2}-\displaystyle\frac{\alpha }{2}$ και ισούται προς

$R^2tan\displaystyle\frac{\alpha }{2}$ ,

ενώ στην δεύτερη περίπτωση το μέγιστο εμβαδόν επιτυγχάνεται για $\phi =\alpha$ και ισούται προς

$\displaystyle\frac{R^2tan\alpha }{2}$ .

(Έχω ελέγξει τα αποτελέσματα αυτά στις κλασσικές ειδικές περιπτώσεις $\alpha =\displaystyle\frac{\pi }{2}$ (μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου εγγεγραμμένου σε ημικύκλιο) και $\alpha =\displaystyle\frac{\pi }{4}$ (μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου εγγεγραμμένου σε τεταρτοκύκλιο), αντίστοιχα.)

Επειδή ισχύει η $tan\displaystyle\frac{\alpha }{2}<\displaystyle\frac{tan\alpha }{2}$ για $0<\alpha \leq \displaystyle\frac{\pi }{4}$ , ο δεύτερος τύπος ορθογωνίου (πλευρές μη παράλληλες προς την

) ... κερδίζει ... και η απάντηση είναι $\displaystyle\frac{R^2tan\alpha }{2}$ για μη αμβλεία γωνία $2\alpha$ . Για αμβλεία γωνία $2\alpha$ υπάρχει μόνον ο πρώτος τύπος ορθογωνίου (πλευρές παράλληλες προς την

) και επομένως η απάντηση είναι $R^2tan\displaystyle\frac{\alpha }{2}$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

#6

orestisgotsis έγραψε:Κύριε Γιώργο ευχαριστώ για την απάντησή σας.

Ορέστη ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει τίποτα ... και σου αφιερώνω μία ειδική περίπτωση (χωρίς λόγια)!

Γιώργος Μπαλόγλου

orestisgotsis · #7

ΠΕΡΙΤΤΑ

#8

Ξαναστέλνω την γενική περίπτωση (ακυρώνοντας προηγούμενο μήνυμα): παρατηρώντας προσεκτικά την λύση που προηγήθηκε συμπεραίνουμε ότι η μία πλευρά του 'παρ' ολίγον μεγίστου' συνδέει το 1/4 και τα 3/4 του τόξου, κλπ κλπ

Γιώργος Μπαλόγλου

orestisgotsis · #9

ΠΕΡΙΤΤΑ

Μέγιστο εμβαδόν

Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση