Ύπαρχουν τέτοια x ;

#1

Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle x$ τέτοιοι ώστε να ισχύει:

$\displaystyle \tan \left( {2x} \right) \cdot \cot \left( {3x} \right) \in \left( {\frac{2}{3},9} \right)$ ;

dement · #2

Όχι.

Γράφουμε $\displaystyle \tan(2x) \cot(3x) = \frac{\tan (2x)}{\tan (3x)} = \frac{\sin(2x) \cos(3x)}{\cos(2x) \sin(3x)} = \frac{\sin(5x) - \sin x}{\sin(5x) + \sin x} = \frac{\frac{\sin (5x)}{\sin x} - 1}{\frac{\sin(5x)}{\sin x} + 1}$ (αν έχει νόημα το $\cot (3x)$ τότε $\sin x \neq 0$ ).

Μελετώντας την συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ βλέπουμε ότι, για τις επιθυμητές τιμές, πρέπει να ισχύει $\displaystyle \frac{\sin (5x)}{\sin x} \in (- \infty, -5/4) \cup (5, + \infty)$ .

Αλλά $\displaystyle \frac{\sin (5x)}{\sin x} = 16 \cos^4 x - 12 \cos^2 x + 1$ . Το πολυώνυμο έχει ελάχιστη τιμή για $\cos^2 x = 3/8$ το -5/4

και έτσι αποκλείεται το πρώτο διάστημα. Μεγιστοποιείται για $\cos^2 x = 1$ με τιμή

, και έτσι αποκλείεται και το δεύτερο διάστημα.

#3

Μιλάμε για $\displaystyle{\cos 2x\sin 3x\ne 0}$ και αρκεί να δουλέψουμε στο $\displaystyle{(0,\pi).}$

Αν $\displaystyle{\cos 3x=0,}$ είναι $\displaystyle{f(x)=0.}$

Αλλιώς είναι

$\displaystyle{f(x)=\frac{\tan 2x}{\tan 3x}=2\frac{1-3\tan ^2x}{(1-\tan ^2x)(3-\tan ^2x)},}$

οπότε αρκεί να δούμε τι τιμές λαμβάνει η παράσταση

$\displaystyle{K:=2\frac{1-3t}{(1-t)(3-t)}, ~t>0.}$

Είναι

$\displaystyle{K'=2\frac{(t+1)(3t-5)}{(t-1)^2(t-3)^2}}$

και με τη γνωστή διαδικασία βρίσκουμε $\displaystyle{K\geq 9 \vee K\leq \frac{2}{3}.}$

#4

Επειδή η παράσταση είναι περιοδική με περίοδο $\pi$ μπορούμε να εργαστούμε μόνο στο $[0, \pi]$ . Το πεδίο ορισμού είναι ξένη ένωση διαστημάτων (άμεσο).

Εργαζόμαστε αρχικά στο "πρώτο" από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού, που είναι το $\left ( 0, \frac {\pi}{6} \right )$ .

Θέτουμε $f(x) = 3\tan (2x)-2\tan (3x)$ . Ικανοποιεί $f'(x)= 6 (\tan^2 (2x)+1)- 6 (\tan^2 (3x)+1)= 6 (\tan^2 (2x)- \tan^2 (3x)) <0$ (διότι tan αύξουσα και θετική). Άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στο παραπάνω διάστημα. Αφού για $x\to 0+$ έχουμε $f(x)\to 0$ έπεται $3\tan (2x)-2\tan (3x)<0$ και άρα $\tan \left( {2x} \right) \cdot \cot \left( {3x}) < \frac {2}{3}$ . Δηλαδή μένει έξω από το δοθέν διάστημα.

Όμοια τα υπόλοιπα: Τα κοίταξα μόνο πρόχειρα και δεν βλέπω να κολλάει πουθενά. Π.χ. στο $\left (\frac {\pi}{4}, \, \frac {\pi}{3} \right )$ η δοθείσα είναι $\ge 9$ . Το αφήνω για να μην μπω στον κόπο της πληκτρολόγησης...

Ύπαρχουν τέτοια x ;

Ύπαρχουν τέτοια x ;

Re: Ύπαρχουν τέτοια x ;

Re: Ύπαρχουν τέτοια x ;

Re: Ύπαρχουν τέτοια x ;

Μέλη σε σύνδεση