Φιλοσοφημένο ολοκλήρωμα

KARKAR · #1

Υπολογίστε το : $\displaystyle\int\frac{4}{x^4+4}dx$ . Θεωρήστε γνωστό ότι : $\displaystyle \int\frac{dx}{x^2+1}=arctan(x)+c$

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 24, 2019 12:30 pm Υπολογίστε το : $\displaystyle\int\frac{4}{x^4+4}dx$ . Θεωρήστε γνωστό ότι : $\displaystyle \int\frac{dx}{x^2+1}=arctan(x)+c$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{8}{{{x^4} + 4}} = \frac{{2 - x}}{{{x^2} - 2x + 2}} + \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 2}}$

$\displaystyle \bullet$ Στο $\displaystyle \int {\frac{{2 - x}}{{{x^2} - 2x + 2}}dx}$ θέτω $\displaystyle x = u + 1$ και το ολοκλήρωμα γράφεται:

$\int {\dfrac{{1 - u}}{{{u^2} + 1}}du =$ $- \int {\dfrac{u}{{{u^2} + 1}}} } du + \int {\dfrac{{du}}{{{u^2} + 1}}} = - \dfrac{1}{2}\ln ({x^2} - 2x + 2) + \arctan (x - 1) + {c_1}$

$\displaystyle \bullet$ Ομοίως, $\displaystyle \int {\frac{{2 + x}}{{{x^2} + 2x + 2}}dx} = \frac{1}{2}\ln ({x^2} + 2x + 2) + \arctan (x + 1) + {c_2}$

Τα υπόλοιπα είναι συρραφή.

Tolaso J Kos · #3

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 24, 2019 12:30 pm Υπολογίστε το : $\displaystyle\int\frac{4}{x^4+4}dx$ . Θεωρήστε γνωστό ότι : $\displaystyle \int\frac{dx}{x^2+1}=arctan(x)+c$

Δίνω την αρχή για μία ξεκούραστη λύση...

Καλές γιορτές!

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \frac{4}{x^4+4} \, \mathrm{d}x &\overset{x=\sqrt{2}t}{=\! =\! =\! =\! =\!} \frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{4}{t^4+1} \, \mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{t^2+1-t^2+1}{t^4+1} \, \mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1+\frac{1}{t^2}}{\left ( t-\frac{1}{t} \right )^2+2} \, \mathrm{d}t -\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1-\frac{1}{t^2}}{\left ( t+\frac{1}{t} \right )^2-2} \, \mathrm{d}t \end{aligned}}$
στο πνεύμα που προτείνει και ο θεματοδότης...

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 24, 2019 12:30 pm Υπολογίστε το : $\displaystyle\int\frac{4}{x^4+4}dx$ . Θεωρήστε γνωστό ότι : $\displaystyle \int\frac{dx}{x^2+1}=arctan(x)+c$

Από την παραγοντοποίηση x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)

και με ανάλυση κλασμάτων έχουμε μετά από πράξεις

$\displaystyle{ \frac{4}{x^4+4} = -\frac {1}{16}\frac{2x-2}{x^2-2x+2} + \frac {1}{8}\frac{1}{x^2-2x+2} +\frac {1}{16}\frac{2x+2}{x^2+2x+2} + \frac {1}{8}\frac{1}{x^2+2x+2} }$

Τώρα είναι έτοιμο για ολοκλήρωση: Το πρώτο και τρίτο κλάσμα δίνουν τον λογάριθμο του παρονομαστή. Τα άλλα δύο είναι μέσω τόξου εφαπτομένης δεδομένου ότι $\displaystyle{ x^2\pm 2x+2= (x\pm 1) ^2+1}$ . Και λοιπά.

με πρόλαβαν. Το αφήνω γιατί έκανα πολύ ώρα πράξεις. Υπόψη υπάρχουν και άλλοι τρόποι - απλοί - αντιμετώπισης.

Φιλοσοφημένο ολοκλήρωμα

Φιλοσοφημένο ολοκλήρωμα

Re: Φιλοσοφημένο ολοκλήρωμα

Re: Φιλοσοφημένο ολοκλήρωμα

Re: Φιλοσοφημένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση