Προσδιορισμός παραμέτρων

#1

Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)= \begin{cases} \frac{\left | e^x-1-x-\frac{x^2}{2} \right |^\alpha}{x}, \ x \ne 0 \\ b, \ x=0\end{cases}$

όπου $a, b \in \mathbb{R}}$

$\bigstar$ Για ποιές τιμές των παραμέτρων a, b

η συνάρτηση είναι συνεχής στο $x_{0}=0$

$\bigstar$ $\bigstar$ Για ποιές τιμές των παραμέτρων a, b

η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}=0$

stranger · #2

Επειδή η

είναι αναλυτική στο $\mathbb{R}$ παίρνουμε $|e^x-1-x- \frac{x^2}{2}| = O(|x|^3)$ , οπότε $|f(x)|= O(|x|^{3a-1})$ και αυτό δείχνει ότι αν $a> \frac{1}{3}$ τότε το όριο κάνει

, οπότε αναγκαστικά b=0

, για να είναι συνεχής.
Τώρα αν $a\leq \frac{1}{3}$ , τότε $f(x) = \frac{|x^3(\frac{1}{6} + \frac{x}{4!} +...)|^a}{x}$ $= sign(x) |x|^{3a-1}|\frac{1}{6} + \frac{x}{4!} +...|^a$ . Οπότε το όριο δεν υπάρχει στο $\mathbb{R}$ .
Άρα τελικα $a > \frac{1}{3}$ και b=0

.

stranger · #3

Μιας και δεν το έχει απαντήσει κανείς, ας απαντήσω και το β). Η ιδέα είναι ουσιαστικά η ίδια.
Θέλουμε το όριο $\frac{f(x)}{x}$ να είναι πραγματικός αριθμός.
Αν $a > \frac{2}{3}$ , τότε $\frac{f(x)}{x} = O(|x|^{3a -2})$ . Οπότε το όριο της $\frac{f(x)}{x}$ κάνει

, οπότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στo

.
Τώρα $a < \frac{2}{3}$ τότε το ζητούμενο όριο κάνει $+\infty$ , ενώ αν $a=\frac{2}{3}$ , τότε κάνει $(\frac{1}{6})^a$ .
Αυτό είναι εμφανές από την εξίσωση $\frac{f(x)}{x} = |x|^{3a-2} |\frac{1}{6} + \frac{x}{4!} + ...|^a$
Οπότε τελικά, $a \geq \frac{2}{3}$ και b=0

.

Προσδιορισμός παραμέτρων

Προσδιορισμός παραμέτρων

Re: Προσδιορισμός παραμέτρων

Re: Προσδιορισμός παραμέτρων

Μέλη σε σύνδεση