Εύρεση μέγιστης τιμης σταθεράς

#1

Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της πραγματικής σταθεράς

για την οποία ισχύει $\left | lnx-lny \right |\geq C\left | x-y \right |$

για κάθε $x,y\in (0,1]$ .

#2

Έστω η συνάρτηση $f:(0,\infty) \to \mathbb{R}$ με τύπο $f(x) = \ln{x}$ . Από το Θ.Μ.Τ., για κάθε $x,y \in (0,1]$ με $x \neq y$ υπάρχει $\xi_{x,y}$ μεταξύ των x,y

ώστε

$\displaystyle \left|\frac{\ln{x}-\ln{y}}{x-y}\right| = \left| \frac{f(x) - f(y)}{x-y}\right| = |f'(\xi_{x,y})| = \frac{1}{\xi_{x,y}}$

Άρα $|\ln{x} - \ln{y}| \geqslant |x-y|$ για κάθε $x,y \in (0,1]$ . Από την άλλη, για $x = 1-\varepsilon, y = 1-\varepsilon/2$ παίρνουμε $\xi_{x,y} > 1 - \varepsilon$ οπότε $|\ln{x} - \ln{y}| \leqslant \frac{1}{1-\varepsilon}|x-y|$ .

Καταλήγουμε λοιπόν ότι η μέγιστη δυνατή τιμή του

είναι το

.

Εύρεση μέγιστης τιμης σταθεράς

Εύρεση μέγιστης τιμης σταθεράς

Re: Εύρεση μέγιστης τιμης σταθεράς

Μέλη σε σύνδεση