Σύνολα

mick7 · #1

Θεωρούμε τα σύνολα $\displaystyle{ A = \{1, 3, \sqrt{m}\} }$ , $\displaystyle{ B = \{1, m\} }$ με $\displaystyle{ A \cup B = A }$ .

Βρείτε την τιμή του $\displaystyle{ m }$

#2

mick7 έγραψε: Τρί Ιαν 13, 2026 9:59 pm Θεωρούμε τα σύνολα $\displaystyle{ A = \{1, 3, \sqrt{m}\} }$ , $\displaystyle{ B = \{1, m\} }$ με $\displaystyle{ A \cup B = A }$ .

Βρείτε την τιμή του $\displaystyle{ m }$

Με την σύμβαση ότι τα σύνολα που δίνονται με αναγραφή των στοιχείων τους πρέπει να έχουν τα στοιχεία τους γραμμένα από μία φορά το καθένα, συπεραίνουμε από το

ότι $m\ne 1$ (βλέπε όμως το σχόλιο στο τέλος).

Από την υπόθεση είναι $\displaystyle{B \subseteq A \cup B = A }$ άρα $\displaystyle{B \subseteq A }$ , και αντίστροφα. Δηλαδή έχουμε $\displaystyle{ \{1, m\} \subseteq \{1, 3, \sqrt{m}\} }$ .

Έπεται ότι το

ως στοιχείο του

, θα είναι και του

, που σημαίνει ότι οι πιθανές τιμές του

ικανοποιούν m=1

ή

ή $m= \sqrt{m}$ από τις οποίες η τελευταία δίνει m=0

ή

. Απορρίπτουμε την m=1

. Εξετάζουμε τις υπόλοιπες εκδοχές χωριστά.

α) m=0

. Τότε $A = \{0, 1, 3\}, \, B= \{0, \, 1\}$ , που είναι δεκτή αφού $\displaystyle{B \subseteq A }$

β) m=3

. Τότε $A = \{ 1, 3, \sqrt 3 \}, \, B= \{0, \, 3\}$ , που είναι δεκτή αφού $\displaystyle{B \subseteq A }$ .

Σχόλιο. Ας ξαναδούμε την περίπτωση m=1

που απορρίψαμε. Αν θέσουμε m=1

στα δύο σύνολα, τότε με την σύμβαση ότι τα σύνολα που δίνονται με αναγραφή των στοιχείων τους πρέπει να έχουν τα στοιχεία τους από μία φορά το καθένα, έχουμε ότι $A = \{0, 1 \}, \, B= \{ 1\}$ (έσβησα τις επαναλήψεις στοιχείων). Η λύση αυτή είναι δεκτή αφού $\displaystyle{B \subseteq A }$ . Με άλλα λόγια η άσκηση έχει μία ασάφεια. Συγκεκριμένα, αν πρέπει να δούμε τα σύνολα A, B

πριν ή μετά την επιλογή του

. Διαλέγει ο καθένας και παίρνει. Όφειλε η ίδια η άσκηση να μας πει τον περιορισμό που υιοθετεί.

Σύνολα

Σύνολα

Re: Σύνολα

Μέλη σε σύνδεση