Διαιρετότητα

#1

Με γνώσεις μόνο της Α Γυμνασίου, να βρεθούν οι μη αρνητικοί ακέραιοι

, αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός 5n+3

διαιρείται με τον n+1

Philip.kal · #2

Καλησπέρα!

Έστω: $\frac{5n+3}{n+1}=k \in \mathbb{N} \Leftrightarrow 5n+3=k(n+1) \Leftrightarrow 5n+3=kn+k \Leftrightarrow 5n+5=kn+k+2 \Leftrightarrow$

$5n-kn+5-k=2 \Leftrightarrow n(5-k)+5-k=2 \Leftrightarrow (5-k)(n+1)=2$ , απ΄όπου παίρνουμε τις τιμές $n=0 \vee n=1$

stranger · #3

Philip.kal έγραψε: Κυρ Φεβ 28, 2021 11:00 pm Καλησπέρα!

Έστω: $\frac{5n+3}{n+1}=k \in \mathbb{N} \Leftrightarrow 5n+3=k(n+1) \Leftrightarrow 5n+3=kn+k \Leftrightarrow 5n+5=kn+k+2 \Leftrightarrow 5n-kn+5-k=2 \Leftrightarrow n(5-k)+5-k=2 \Leftrightarrow (5-k)(n+1)=2$ , απ΄όπου παίρνουμε τις τιμές $n=0 \vee n=1$

Πιο απλά,
$\frac{5n+3}{n+1} = 5 - \frac{2}{n+1}$ , οπότε $n+1 \mid 5n+3$ αν και μόνο αν $n+1 \mid 2$ . Άρα n=0

η

.

#4

Ωραία.

Μια ακόμα παρουσίαση στο ίδιο πνεύμα, είναι και η εξής:

$\displaystyle{\frac{5n+3}{n+1}=\frac{4n+n+4-1}{n+1}=\frac{4(n+1)+(n-1)}{n+1}=\frac{4(n+1)}{n+1}+\frac{n-1}{n+1}=4+\frac{n-1}{n+1}}$

Αν ο

είναι μηδέν τότε n+1=1

και άρα ο

διαιρεί τον 5n+3

.

Αν ο

είναι θετικός ακέραιος, τότε ο n-1

είναι μη αρνητικός και επειδή ο n+1

είναι μεγαλύτερος από τον n-1

, δεν θα μπορεί

να διαιρεί τον n-1

, παρά μόνο αν ο n-1

ισούται με μηδέν. Άρα πρέπει n=1

Τελικά βρήκαμε ότι πρέπει ή n=0

ή

.

Διαιρετότητα

Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση