Τρεις πρώτοι και ένας σύνθετος

#1

Αν οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{a , b , c}$ είναι διάφοροι μεταξύ τους και αν οι επόμενοι των αριθμών $\displaystyle{ab, bc , ac}$ είναι πρώτοι ενώ ο επόμενος
του $\displaystyle{abc}$ είναι σύνθετος, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{a+b+c}$

kfd · #2

Αν $\alpha <b <c$ , δεν γίνεται a=1

, γιατί τότε abc+1=bc+1

, άτοπο αφού σύνθετος=πρώτος.
Άρα $\alpha \geqslant 2$ κι επειδή ab+1,ac+1,bc+1

πρώτοι μεγαλύτεροι του 2 θα είναι περιττοί, που σημαίνει
ότι οι προηγούμενοί τους άρτιοι, άρα κατ' ανάγκη θα είναι το πολύ ένας περιττός από τους a,b,c

.
Η τριάδα a=2,b=5,c=8

ικανοποιεί τις υποθέσεις και a+b+c=15.

Aρκεί να αποκλείσουμε κάθε τριάδα με άθροισμα μικρότερο του 15, που να ικανοποιεί τα προηγούμενα.
Η μικρότερη τριάδα άνισων a,b,c

είναι 2,3,4 με άθροισμα 9, που δεν μας κάνει.
Άθροισμα 11 έχουν οι τριάδες 2,3,6 και 2,4,5 που δεν ικανοποιούν τις συνθήκες.
Άθροισμα 12 έχει η τριάδα 2,4,6 που επίσης δεν ικανοποιεί τις συνθήκες.
Άθροισμα 13 έχουν οι τριάδες 2,3,8, 2,4,7, 3,4,6 και 2,5,6 που δεν μας κάνουν.
Άθροισμα 14 έχει η τριάδα 2,4,8 που επίσης δεν ικανοποιεί τις συνθήκες.

Τρεις πρώτοι και ένας σύνθετος

Τρεις πρώτοι και ένας σύνθετος

Re: Τρεις πρώτοι και ένας σύνθετος

Μέλη σε σύνδεση