Τέχνασμα στα κλάσματα

Τόλης · #1

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$\frac{1}{49\cdot 50}+\frac{1}{50\cdot 51}+\frac{1}{51\cdot 52}+...+\frac{1}{342\cdot 343}+\frac{21}{343}$
παίρνει την μορφή:
$a=\left ( \frac{\psi }{\omega } \right )^{3}$ , όπου $\gcd (\psi ,\omega )=1$ .
$\gcd$ :Μέγιστος κοινός διαιρέτης.

#2

Τόλης έγραψε: Κυρ Ιαν 29, 2023 1:29 pm Να αποδείξετε ότι ο αριθμός
$\frac{1}{49\cdot 50}+\frac{1}{50\cdot 51}+\frac{1}{51\cdot 52}+...+\frac{1}{342\cdot 343}+\frac{21}{343}$
παίρνει την μορφή:
$a=\left ( \frac{\psi }{\omega } \right )^{3}$ , όπου $\gcd (\psi ,\omega )=1$ .
$\gcd$ :Μέγιστος κοινός διαιρέτης.

H τεχνική είναι πολύ γνωστή και χιλιοειπωμένη. Συνοπτικά,

Από $\dfrac {1}{n(n+1)}= \dfrac {1}{n}- \dfrac {1}{n+1}$ το άθροισμα ισούται τηλεσκοπικά

$\displaystyle{\left ( \dfrac {1}{49}- \dfrac {1}{50 } +...+ \dfrac {1}{342}- \dfrac {1}{343 }\right ) + \dfrac {21}{343}= \dfrac {1}{49}- \dfrac {1}{343 } + \dfrac {21}{343} = \dfrac {7}{343}- \dfrac {1}{343 } + \dfrac {21}{343}= \dfrac {27}{343} = \dfrac {3^3}{7^3}}$ .

Τέχνασμα στα κλάσματα

Τέχνασμα στα κλάσματα

Re: Τέχνασμα στα κλάσματα

Μέλη σε σύνδεση