Με τι ισούται ;

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Έστω ένας θετικός ακέραιος μικρότερος του 1111 . Αν ξέρουμε ότι αν διαιρεθεί με το 9 αφήνει υπόλοιπο 2 , αν διαιρεθεί με το 8 αφήνει υπόλοιπο 3 και αν διαιρεθεί με το 5 αφήνει υπόλοιπο 1 , να βρείτε όλες τις δυνατές του τιμές .

[Panagiotis11]

Άμεση εφαρμογή του Κινέζικο θεωρήματος υπολοίπου(Chinese remainder theorem) οπότε μετά από πράξεις έχουμε την λύση οπότε
με τον περιορισμό παίρνουμε τις λύσεις:

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Άμεση εφαρμογή του Κινέζικο θεωρήματος υπολοίπου(Chinese remainder theorem) οπότε μετά από πράξεις έχουμε την λύση οπότε
με τον περιορισμό παίρνουμε τις λύσεις:

Κινέζικο στην Β Γυμνασίου;
Παναγιώτη γνωρίζεις την απόδειξη του;

[Mihalis_Lambrou]

Έστω ένας θετικός ακέραιος μικρότερος του 1111 . Αν ξέρουμε ότι αν διαιρεθεί με το 9 αφήνει υπόλοιπο 2 , αν διαιρεθεί με το 8 αφήνει υπόλοιπο 3 και αν διαιρεθεί με το 5 αφήνει υπόλοιπο 1 , να βρείτε όλες τις δυνατές του τιμές .

Για χάρη των μαθητών ας δούμε μία λύση πιο κοντά στα παιδιά της Β' Γυμνασίου.

Οι αριθμοί μας είναι συγχρόνως της μορφής . Από την ισότητα έχουμε , οπότε και ο αριθμός μας έχει την μορφή . Άρα ή αλλιώς . Συνεπώς ο διαιρεί τον και άρα (από την μοναδικότητα της ανάλυσης σε πρώτους) ο διαρεί τον . Γράφουμε , οπότε ο αριθμός μας είναι της μορφής .

Βάζοντας παίρνουμε τις τιμές (όπως πριν).

Edit: Τώρα είδα το σχόλιο του Σταύρου. Συμφωνούμε.

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Ωραία! Υπάρχει κι άλλη λύση, η οποία βασίζεται στο θεώρημα που έγραψα στο IMC 2016!

Η θεωρία είναι όμως Β ' Λυκείου , οπότε στη Β ' Γυμνασίου δεν νομίζω ότι κολλάει . Θα το βάλω όμως όταν εξαντληθούν οι λύσεις !

Η λύση του κ . Μιχάλη ήταν πολύ καλή και την είχα κι αυτήν στο μυαλό μου .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η άσκηση ήταν δικής μου κατασκευής !