Γωνία από διαφορά γωνιών

KARKAR · #1

: Γωνία από διαφορά γωνιών.png (16.39 KiB) Προβλήθηκε 2264 φορές

$\bigstar$ Υπολογίστε την γωνία $\theta$ , αν είναι γνωστό ότι : $\omega -\phi=30^{\circ}$ . ( Την ώρα αυτή βγαίνει στο μπαλκόνι ο νέος πάπας )

#2

Επαναφορά!
Την έβαλα σε σημερινό διαγώνισμα

ΕulerCh · #3

: Στιγμιότυπο οθόνης 2026-09-07 221508.png (63.06 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές

Έστω

A\hat{O}C = \alpha

,

O\hat{C}A = \gamma

,

B\hat{O}A = \phi

και

C\hat{A}S = \delta

. Τα σημεία A, C

ανήκουν στον κύκλο

(Ο,r)

, όπου r η ακτίνα. Επομένως

OA = OC = r

και συνεπώς $\triangle OAC$ ισοσκελές και άρα

O\hat{C}A = O\hat{A}C = \gamma

. Φέρνουμε την

. Παρατηρούμε ομοίως ότι

OA = OB = r \Rightarrow O\hat{B}A = O\hat{A}B= \delta

. Έστω

B\hat{O}A = \phi

. H

είναι εφαπτομένη στον κύκλο

(O,r) \Rightarrow O\hat{A}S = 90^\circ \Rightarrow \theta + \alpha = 90^\circ

. Από τα τρίγωνα $\triangle ACS$ ,

\triangle BOA

είναι

\delta + \phi = \omega +\theta \Leftrightarrow \delta - \theta = \omega - \phi = 30^\circ

\gamma = \theta + 90^\circ - \gamma \Leftrightarrow 2\gamma - 90^\circ = \theta

και

\theta = 60^\circ - \gamma \Rightarrow 60^\circ - \gamma = 2\gamma - 90^\circ \Leftrightarrow 3\gamma = 150^\circ \Leftrightarrow \gamma = 50^\circ \Rightarrow \theta = 60^\circ - 50^\circ \Leftrightarrow \boxed {\theta = 10^\circ}

Nikitas K. · #4

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 08, 2025 8:28 pm Γωνία από διαφορά γωνιών.png $\bigstar$ Υπολογίστε την γωνία $\theta$ , αν είναι γνωστό ότι : $\omega -\phi=30^{\circ}$ . ( Την ώρα αυτή βγαίνει στο μπαλκόνι ο νέος πάπας )

Στο σχήμα του κ. Θανάση,

Ισχύει ότι:

\angle BCA = \dfrac{\phi}{2}

αφού η εγγεγραμμένη $\angle BCA$ και η επίκεντρη

\angle BOA=\phi

βαίνουν στο

\overset {\frown} {BA}

Άρα

\angle OCA = \dfrac{\phi}{2}

διότι

\angle OCA = \angle BCA

καθώς τα σημεία B,O

και

είναι συνευθειακά.

\angle ACS + \angle OCA = 180^\circ

διότι η $\angle OCS$ είναι η ευθεία γωνία.

Η τελευταία ισότητα ισοδυναμεί με

\omega + \dfrac{\phi}{2} = 180^\circ

όπου λυνοντας το σύστημα με τη δοθείσα

\omega - \phi = 30^\circ

προκύπτει η λύση

\omega = 130^\circ

και

\phi = 100^\circ

Εν τέλει

\theta = \angle OSA = 10^\circ

αφού

\theta + 90^\circ = 100^\circ

διότι η

\angle BOA = 100^\circ

είναι εξωτερική του ορθογωνίου $\triangle OAS$

KARKAR · #5

: Β Γυμν..png (17 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές

#6

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 08, 2025 8:28 pm Γωνία από διαφορά γωνιών.png $\bigstar$ Υπολογίστε την γωνία $\theta$ , αν είναι γνωστό ότι : $\omega -\phi=30^{\circ}$ . ( Την ώρα αυτή βγαίνει στο μπαλκόνι ο νέος πάπας )

( Εκτός φακέλου)

Έστω το σημείο

του

έτσι ώστε ,

\widehat {TCS} = 30^\circ

. Επειδή από την υπόθεση ,

\widehat {\omega _{}^{}} - \widehat {\phi _{}^{}} = 30^\circ \Leftrightarrow \boxed{\widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {\phi _{}^{}} + 30^\circ }

.

Δηλαδή ,

\boxed{\widehat {ACT} = \widehat {\phi _{}^{}} = \widehat {BOA}\,}\,

. Όμως

\widehat {{a_1}} = \widehat {B_{}^{}}

( χορδής κι εφαπτομένης ) Άρα τα

\vartriangle CAT\,\,,\vartriangle OBA

είναι ισογώνια

Κι αφού το $\vartriangle OBA$ είναι ισοσκελές θα είναι και το $\vartriangle CAT$ ισοσκελές.

Προφανές ότι κάθε γωνία της βάσης του ισοσκελούς $\vartriangle OAC$ είναι από

\dfrac{\phi }{2}

κι έτσι κάθε ροζ γωνία είναι :

\boxed{90^\circ - \dfrac{\phi }{2}}

.

: Γωνία απο διαφορά γωνιών.png (20.72 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές

.
.
Από το $\vartriangle CAS$ και από την εξωτερική γωνία του στο

έχω:

\dfrac{{\widehat {{\phi ^{}}}}}{2} = \widehat {\theta _{}^{}} + \widehat {{a_1}} = \widehat {\theta _{}^{}} + 90^\circ - \dfrac{{\widehat {{\phi ^{}}}}}{2} \Rightarrow \boxed{\widehat {\phi _{}^{}} = 90^\circ + \widehat {\theta _{}^{}}}\,\,\,(1)

Από το $\vartriangle CTS$ από την εξωτερική του γωνία στο

έχω :

90^\circ - \dfrac{{\widehat {\phi _{}^{}}}}{2} = 30^\circ + \widehat {\theta _{}^{}} \Leftrightarrow \boxed{180^\circ - \widehat {\phi _{}^{}} = 60^\circ + 2\widehat \theta }\,\,(2)

Και λόγω της (1)

δίδει :

\boxed{\widehat {\theta _{}^{}} = 10^\circ }

Γωνία από διαφορά γωνιών

Γωνία από διαφορά γωνιών

Re: Γωνία από διαφορά γωνιών

Re: Γωνία από διαφορά γωνιών

Re: Γωνία από διαφορά γωνιών

Re: Γωνία από διαφορά γωνιών

Re: Γωνία από διαφορά γωνιών

Μέλη σε σύνδεση