Πλήθος αριθμών

KARKAR · #1

Συμβολίζω με $\pi\lambda(D)$ , το πλήθος των στοιχείων του συνόλου

, για παράδειγμα

αν : $D=\{ 0,1,2,3,4,5,6 \}$ , τότε : $\pi\lambda(D)=7$ .

Για τον φυσικό $n\geq 1$ , ορίζουμε το σύνολο $A=\{ 0,1,2,3, .....,10^n \}$ .

Κάποια από τα στοιχεία του

είναι τέλεια τετράγωνα . Αυτά ανήκουν στο σύνολο

$B=\{ 0,1,4,9, 16 , ... \}$ . Για κάθε $n\geq 1$ , υπολογίστε το $\pi\lambda(B)$ .

Σημείωση πολύ αργότερα : Για τον δεκαδικό αριθμό : a=3,1622

ορίζουμε ως ακέραιο μέρος

του

και συμβολίζουμε με [a]

, το

, δηλαδή τον αριθμό χωρίς το δεκαδικό του μέρος .

qwerty · #2

Αρκεί να βρούμε έναν αριθμό, ας τον ονομάσουμε

, ο οποίος ανήκει στο σύνολο

, τέτοιος ώστε το τετράγωνό του να μη ξεπερνάει τον 10^n

, αλλά ο επόμενός του να το ξεπερνάει.
Συμβολικά έστω $a\in A$ έτσι ώστε $a^2 \leq 10^n$ και (a+1)^2 >10^n

.
Τότε $\pi \lambda \left ( B \right ) = \sqrt{a} + 1$ και το +1 γιατί πρέπει να μετρήσουμε και το μηδέν.

Πάμε να βρούμε τον αριθμό

:
Από τις παραπάνω ανισότητες, έχουμε $a^2 \leq 10^n \Leftrightarrow a \leq 10^\frac{n}{2} \left ( * \right )$
και $(a+1)^2 >10^n \Leftrightarrow 10 ^ \frac{n}{2} < a+1 \left ( ** \right )$ .
Γράφουμε τις $\left ( * \right )$ και $\left (** \right )$ μαζί. Οπότε έχουμε:
$a \leq 10^\frac{n}{2} < a + 1 \Leftrightarrow a = [10^\frac{n}{2}]$ (εφαρμόζουμε τον ορισμό του ακεραίου μέρους).
Άρα $\pi \lambda \left ( B \right ) = \sqrt{ [10^\frac{n}{2}]} + 1$

ΥΓ: Εδώ βέβαια χρησιμοποίησα και ορολογίες που δεν τις ξέρει ένας μέσος μαθητής γυμνασίου, πχ ακέραιο μέρος και το οτι $a^\frac{1}2{} = \sqrt{a}$ εξ ορισμού.

Πλήθος αριθμών

Πλήθος αριθμών

Re: Πλήθος αριθμών

Μέλη σε σύνδεση