Ο λαγός και η χελώνα.

αρψ2400 · #1

Ο λαγός τρέχει με τη χελώνα σε έναν αγώνα. Μετά από 10 λεπτά από την έναρξη ο λαγός σταματά και αρχίζει να κοιμάται. Η χελώνα περνάει από μπροστά του και ο λαγός συνεχίζει να κοιμάται για άλλες 3 ώρες. Όταν ο λαγός ξυπνά τρέχει σαν τρελός για να κερδίσει τον αγώνα. Βλέπετε ο λαγός είναι 80 φορές πιο γρήγορος από τη χελώνα. Αλλά όταν έφτασε στη γραμμή τερματισμού, η χελώνα είχε τελειώσει 1 λεπτό νωρίτερα. Πόσο χρόνο έτρεξε ο λαγός αφότου ξύπνησε;Πόσο χρόνο έτρεξε συνολικά η χελώνα;

#2

αρψ2400 έγραψε: Κυρ Απρ 13, 2025 12:13 am Ο λαγός τρέχει με τη χελώνα σε έναν αγώνα. Μετά από 10 λεπτά από την έναρξη ο λαγός σταματά και αρχίζει να κοιμάται. Η χελώνα περνάει από μπροστά του και ο λαγός συνεχίζει να κοιμάται για άλλες 3 ώρες. Όταν ο λαγός ξυπνά τρέχει σαν τρελός για να κερδίσει τον αγώνα. Βλέπετε ο λαγός είναι 80 φορές πιο γρήγορος από τη χελώνα. Αλλά όταν έφτασε στη γραμμή τερματισμού, η χελώνα είχε τελειώσει 1 λεπτό νωρίτερα. Πόσο χρόνο έτρεξε ο λαγός αφότου ξύπνησε;Πόσο χρόνο έτρεξε συνολικά η χελώνα;

Καλησπέρα σε όλους. Κάτι δεν μου πάει καλά στο πρόβλημα. Η σχέση των ταχυτήτων λαγού-χελώνας.
Έστω

ταχύτητα χελώνας σε m/min

και

του λαγού. Σε 10 min

η διαφορά τους είναι 790u

σε

, οπότε οι τρεις ώρες δεν αρκούν για να τον περάσει η χελώνα.
Μήπως πρέπει να αλλάξει η σχέση των ταχυτήτων ή κάτι έχω κάνει λάθος.

αρψ2400 · #3

rouvala έγραψε: Δευ Μάιος 05, 2025 10:05 am
αρψ2400 έγραψε: Κυρ Απρ 13, 2025 12:13 am Ο λαγός τρέχει με τη χελώνα σε έναν αγώνα. Μετά από 10 λεπτά από την έναρξη ο λαγός σταματά και αρχίζει να κοιμάται. Η χελώνα περνάει από μπροστά του και ο λαγός συνεχίζει να κοιμάται για άλλες 3 ώρες. Όταν ο λαγός ξυπνά τρέχει σαν τρελός για να κερδίσει τον αγώνα. Βλέπετε ο λαγός είναι 80 φορές πιο γρήγορος από τη χελώνα. Αλλά όταν έφτασε στη γραμμή τερματισμού, η χελώνα είχε τελειώσει 1 λεπτό νωρίτερα. Πόσο χρόνο έτρεξε ο λαγός αφότου ξύπνησε;Πόσο χρόνο έτρεξε συνολικά η χελώνα;
είναι πολύ δύσκολο έργο, νόμιζα ότι μπορώ να το κάνω, αλλά τώρα νομίζω ότι δεν μπορώ. Κάποιες σκέψεις σχετικά με αυτό το έργο?

Έστω $u~(\mathrm{km/h})$ η ταχύτητα της χελώνας και $t~(\mathrm{h})$ ο χρόνος που έτρεξε ο λαγός αφότου ξύπνησε.Τότε 80u

θα είναι η ταχύτητα του λαγού και 80ut

η απόσταση από το σημείο που κοιμόταν μέχρι το τέρμα.Η χελώνα την στιγμή τερματισμού του λαγού έχει απομακρυνθεί από το ίδιο σημείο , u(3 + t)

που είναι $u \left( \frac{1}{60} \right)~\mathrm{km}$ παραπάνω,(αν δεν σταμάτησε στο τέρμα να περιμένει το λαγό):
$u(3 + t) = 80ut + u\left( \frac{1}{60} \right)$
Ένας άλλος τρόπος να το δει κανείς είναι ότι η χελώνα διένυσε την απόσταση από το σημείο που κοιμόταν ο λαγός , σε χρόν $\left( 3 + t - \frac{1}{60} \right)~\text{hours}$
Τρεις ώρες που κοιμόταν ο λαγός από τη στιγνή που πέρασε μπροστά του συν το χρόνο που έτρεξε ο λαγός αφότου ξύπνησε μείον ένα λεπτό,Άρα:
$u \left( 3 + t - \frac{1}{60} \right) = 80ut$

Απαλοίφοντας το υ έχουμε $\displaystyle 3 + t - \frac{1}{60} = 80t$

$\displaystyle 3 - \frac{1}{60} = 79t$

$\displaystyle t = \frac{3 - \frac{1}{60}}{79}$

$\displaystyle t = \frac{\frac{179}{60}}{79}$

$\displaystyle t = \frac{179}{4740} \approx 0.0377637 \, \text{hours} \approx 2.2658 \, \text{minutes}$

Η χελώνα έτρεξε από το σημείο ύπνου του λαγού εώς το τέρμα για $\displaystyle 3 + t - \frac{1}{60} = 3$ ώρες και 1,2658 περίπου λεπτά.Έπρεπε όμως να διανύσει και την απόσταση από την αρχή εώς το σημείο ύπνου του λαγού , την οποία ο λαγός διένυσε σε 10 λεπτά .Η χελώνα είναι 80 φορές αργότερη κα άρα θα χρειάστηκε 80-πλάσιο χρόνο , δηλαδή 800 λεπτά = 13 ώρες και 20 λεπτά .
Συνολικά λοιπόν η χελώνα έτρεχε για (3 ώρες και 1,2658 λεπτά)+ (13 ώρες και 20 λεπτά) = 16 ώρες και περίπου 21,2658 λεπτά .Ο λαγός έκανε την ίδια απόσταση σε 12,2658 περίπου λεπτά (όσο έτρεχε και δεν κοιμόταν , κάτι που έκανε για 13 ώρες και 10 λεπτά μέχρι να τον φτάσει η χελώνα, συν 3 ώρες ακόμα αφού πέρασε από το σημείο που κοιμόταν, συνολικά 16 ώρες και 10 λεπτά ύπνου).

Η παραπάνω λύση είναι δική μου .Ακολουθεί και σύνδεσμος με λύση του chatgpt (o3)

https://chatgpt.com/share/6818fc63-403c ... 731ae5db0a

#4

Kαλησπέρα και πάλι.

Έδωσα την παραπάνω απάντηση γιατί δεν πρόσεξα το "για άλλες τρεις ώρες".

Δίνω απάντηση με αυτό το δεδομένο:

Έστω $\displaystyle u\;\frac{m}{{\min }}$ η ταχύτητα της χελώνας και $\displaystyle 80u\;\frac{m}{{\min }}$ η ταχύτητα του λαγού.

Σε

λεπτά, ο λαγός είναι $\displaystyle 790u\;m$ μπροστά και σταματά.

Η χελώνα τον φτάνει σε 790

λεπτά.

Μετά από

ώρες, η χελώνα είναι $\displaystyle 180u\;m$ μπροστά.

Κατόπιν, η χελώνα τερματίζει σε χρόνο

, οπότε

$\displaystyle 80u \cdot \left( {t + 1} \right) = ut + 180u \Leftrightarrow 79t = 100 \Leftrightarrow t = \frac{{100}}{{79}}\;\min$

Ο λαγός αφότου ξύπνησε έτρεξε $\displaystyle t + 1 \cong 1,265 + 1 = 2,265\;\min$

Η χελώνα έτρεξε $\displaystyle 10 + 790 + 180 + 1,265 = 981,265\;\min$ .

Θα ήταν προτιμότερο στο φάκελο Διασκεδαστικών μαθηματικών για να μην το περιορίζουμε σε ηλικιακό επίπεδο Β΄Γυμνασίου.

Ο λαγός και η χελώνα.

Ο λαγός και η χελώνα.

Re: Ο λαγός και η χελώνα.

Re: Ο λαγός και η χελώνα.

Re: Ο λαγός και η χελώνα.

Μέλη σε σύνδεση