Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

[ksofsa]

Καλημέρα.

Είναι γνωστό ότι κάθε συμμετρικό πολυώνυμο μεταβλητών μπορεί να γραφεί ως έκφραση των θεμελιωδών συμμετρικών πολυωνύμων (αθροισμάτων Vieta).

Έχουμε μεταβλητές και θεωρούμε το γινόμενο των αθροισμάτων διαφορετικών μεταβλητών.Π.χ. αν , τότε θεωρούμε το .

Για το πολυώνυμο που προκύπτει υπάρχει τύπος/αλγόριθμος για την έκφραση του ως πολυώνυμο των αθροισμάτων Vieta;

Π.χ. για το προηγούμενο παράδειγμα, ο τύπος/αλγόριθμος πρέπει να δίνει .

Ευχαριστώ εκ των πρότερων για όποια πληροφορία δοθεί. Καλό θα είναι να δοθεί και η αντίστοιχη παραπομπή.

[stranger]

Καλημέρα.

Είναι γνωστό ότι κάθε συμμετρικό πολυώνυμο μεταβλητών μπορεί να γραφεί ως έκφραση των θεμελιωδών συμμετρικών πολυωνύμων (αθροισμάτων Vieta).

Έχουμε μεταβλητές και θεωρούμε το γινόμενο των αθροισμάτων διαφορετικών μεταβλητών.Π.χ. αν , τότε θεωρούμε το .

Για το πολυώνυμο που προκύπτει υπάρχει τύπος/αλγόριθμος για την έκφραση του ως πολυώνυμο των αθροισμάτων Vieta;

Π.χ. για το προηγούμενο παράδειγμα, ο τύπος/αλγόριθμος πρέπει να δίνει .

Ευχαριστώ εκ των πρότερων για όποια πληροφορία δοθεί. Καλό θα είναι να δοθεί και η αντίστοιχη παραπομπή.

Νομίζω ότι το συγκεκριμένο θεώρημα που αναφέρεσαι εξασφαλίζει μόνο την ύπαρξη.
Από διαίσθηση και μόνο θα έλεγα ότι θα είναι πολύ δύσκολο να υπάρχει τέτοιος αλγοριθμος/διαδικασία.
Θα το ψάξω παραπάνω και θα επανέλθω.

[stranger]

Τελικά νομίζω ότι η διαίσθηση μου αυτή είναι λανθασμένη.
Σε παραπέμπω στην απόδειξη του συγκεκριμένου θεωρήματος στο Βιβλίο Algebraic Number Theory and Fermat's last theorem των Stewart Tall σελίδα 25.
Η απόδειξη χρησιμοποιεί έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο που νομίζω είναι αυτό που ψάχνεις.
Χρησιμοποιεί λεξικό γραφική διάταξη.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_identities

[ksofsa]

Σάς ευχαριστώ για τις παραπομπές. Να είστε καλά.

[nsmavrogiannis]

Ίσως είναι χρήσιμα όσα περιέχονται στην παρ. 52, σελ. 312 του κλασικού βιβλίου
A. Kurosh Higher Algebra, MIR, 1980
που μπορεί να μεταφορτωθεί ελεύθερα από τον σύνδεσμο
https://mirtitles.org/2012/12/25/higher-algebra-kurosh/

[ksofsa]

Καλημέρα.

Σας ευχαριστώ για την παραπομπή. Πολύ ενδιαφέρον και καλογραμμένο φαίνεται να είναι και όλο το βιβλίο.