Υπολογισμός παράστασης

#1

Καλησπέρα!Καταπιάστηκα με αυτήν την άσκηση και μιλάμε...μου άρεσε!Ελπίζω να σας αρέσει και σε εσάς...
Να υπολογίσετε το άθροισμα:

\displaystyle
\frac{1}{{3^2 + 1}} + \frac{1}{{4^2 + 2}} + \frac{1}{{5^2 + 3}} + .....

#2

Καλησπέρα και σε σένα Χρήστο!

Φαντάζομαι το άθροισμα είναι πεπερασμένο και φτάνει μέχρι το $\displaystyle\frac{1}{n^2+(n-2)}=\frac{1}{(n-1)(n+2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+2}\right)$ κι έτσι το ζητούμενο άθροισμα είναι το
$\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{i=3}^n \left(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i+2}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$

Αλέξανδρος

#3

cretanman έγραψε:Καλησπέρα και σε σένα Χρήστο!

Φαντάζομαι το άθροισμα είναι πεπερασμένο και φτάνει μέχρι το $\displaystyle\frac{1}{n^2+(n-2)}=\frac{1}{(n-1)(n+2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+2}\right)$ κι έτσι το ζητούμενο άθροισμα είναι το
$\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{i=3}^n \left(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i+2}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$

Αν όχι τότε ισούται με ολοκλήρωμα (θα το υπολογίσω εντός ολίγου) καθώς είναι άθροισμα Riemann συνάρτησης.

Αλέξανδρος

Αλέξανδρε,

αν το άθροισμα έχει άπειρους όρους, τότε απλά παίρνεις όριο στο μερικό άθροισμα που βρήκες. Οι τρείς τελευταίοι όροι τείνουν στο 0. Μένει
$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)= \frac{13}{36}$ .

#4

Αλέξανδρε,δεν το έχει πεπερασμένο και είναι απο τα Harvard-MIT Mathematics Tournament 2003.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Αλέξανδρε,

αν το άθροισμα έχει άπειρους όρους, τότε απλά παίρνεις όριο στο μερικό άθροισμα που βρήκες. Οι τρείς τελευταίοι όροι τείνουν στο 0. Μένει
$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)= \frac{13}{36}$ .

Ναι έχετε δίκιο! Το κατάλαβα αμέσως μετά και το έσβησα αμέσως! Νομίζα ότι ήταν λίγο πιο περίεργο αλλά βγαίνει όντως με το όριο του μερικού αθροίσματος. Τί απροσεξία!

Μια και το φερε η κουβέντα ας υπολογιστεί το

$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)$

Αλέξανδρος

#6

Aπαντώ στην άσκηση του Αλέξανδρου...
Βγάζοντας το n κοινό παράγοντα στον παρονομαστή,λαμβάνουμε:

\displaystyle
\frac{1}{{n(1 + \frac{1}{n})}} + \frac{1}{{n(1 + \frac{2}{n})}} + \frac{1}{{n(1 + \frac{3}{n})}} + ...... + \frac{1}{{n(1 + \frac{n}{n})}}
$\displaystyle{ .Παρατηρούμε πως αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση$ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadAgacaGGOaGaamiEaiaacMcacqGH9a
% qpdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIXaGaey4kaSIaamiEaaaaaaa!3950!
$\displaystyle f(x) = \frac{1}{{1 + x}} }$ στο [0,1] και διαμερίσουμε το διάστημα με διαμέριση

\displaystyle
\Delta _\nu = \left\{ {0,\frac{1}{\nu },\frac{2}{\nu },\frac{3}{\nu },....\frac{\nu }{\nu }} \right\}

,συμπεραίνουμε πως το ζητούμενο όριο δεν είναι τίποτα άλλο απο ένα άθροισμα Riemman της f στο [0,1].Άρα αρκεί να υπολογίσουμε το

% MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaamaapehabaGaamOzaiaacIcacaWG4bGaai
% ykaiaadsgacaWG4baaleaacaaIWaaabaGaaGymaaqdcqGHRiI8aaaa
% !3AA9!
$\displaystyle \int\limits_0^1 {f(x)dx} }$ δηλαδή ln2.

#7

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα!Καταπιάστηκα με αυτήν την άσκηση και μιλάμε...μου άρεσε!

Χρήστο,

το πρώτο πράγμα που κάνουμε σε ένα άθροισμα, πεπερασμένο ή άπειρο, είναι να δούμε αν είναι τηλεσκοπικό.
Δηλαδή ρωτάμε κατα πόσο ο γενικός του όρος a_n

γράφεται ως $b_n-b_{n-1}$ . Σε αυτή την περίπτωση, η πρόσθεση κατά μέλη έχει
ως αποτέλεσμα να απλοποιηθούν όλοι οι όροι εκτός κάποιους ακριανούς.

Η τηλεσκοπική μέθοδος έχει πάρα πολλές εφαρμογές. Συχνά ανακαλύπτουμε το σπάσιμο του γενικού όρου κάνοντας ανάλυση σε
κλάσματα. Αυτό ακριβώς έκανε ο Αλέξανδρος.

Αλλά και σε μη κλάσματα μπορούμε να εργαστούμε επικερδώς.

Π.χ. για το άθροισμα 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + Ν(Ν+1)(Ν+2) λέμε ότι ο γενικός όρος k(k+1)(k+2) γράφεται
$k(k+1)(k+2) = \frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3) - \frac{1}{4}(k-1)k(k+1)(k+2)]/$
(βγάλε κοινό παράγοντα το k(k+1)(k+2) δεξιά, και θα το δεις αμέσως).

Όμοια μπορείς να βρεις αθροίσματα όπως
1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + ... + Ν(Ν+1)(Ν+2)(Ν+3)
1.2.3.4.5 + 2.3.4.5.6 + 3.4.5.6.7 + ... + Ν(Ν+1)(Ν+2)(Ν+3)(Ν+4) και λοιπά

Παρεμπιπτόντως, αν ανοίξεις τις παρενθέσεις στο k(k+1)(k+2), δηλαδή
k(k+1)(k+2)= k^3 + 3k^2 + 2k

και προσθέσεις κατα μέλη, θα βρείς το άθροισμα των κύβων k^3

με χρήση
των αθροισμάτων των k^2

και

.
Όμοια το άνοιγμα των παρενθέσεων στο άθροισμα των k(k+1)(k+2)(k+3) θα σου δώσει το άθροισμα των k^4

και ούτω καθ' εξής.

Για τηλεσκοπικά με ανάλυση σε κλάσματα, ωραία παραδείγματα είναι να βρεις τα αθροίσματα με γενικούς
όρους, π.χ. $\frac{1}{k(k+1)}$ , $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ και λοιπά.

Καλό διάβασμα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

#8

Έχετε δίκιο Κυριε Λάμπρου... Εγώ απλά απάντησα γιατί... ξανακοίταξα την άσκηση, μήπως και την έδωσα λάθος...
(Ξαναλέω, χιουμοριστικά, πως έχω μια τάση να ξεχνάω τελίτσες με πολύ οδυνηρές συνέπειες για εμένα). Ορθώς έπραξε ο Αλέξανδρος, ο οποίος για την ηλικία του θεωρώ οτι είναι καταπληκτικός μαθηματικός και πως έχει πετύχει πάρα πολλά
ήδη... Φυσικά, έπεται και συνέχεια!

#9

chris_gatos έγραψε: ο Αλέξανδρος, ο οποίος για την ηλικία του θεωρώ οτι είναι καταπληκτικός μαθηματικός

Πίστεψέ με ότι, εκτός από χαρισματικός μαθηματικός, ο Αλέξανδρος είναι άνθρωπος με ήθος
και σπάνιες αρετές.

Μιχάλης Λάμπρου

Υπολογισμός παράστασης

Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Μέλη σε σύνδεση