ανίσωση με ριζικά

rastaffari · #1

χρόνια πολλά και με υγεία
Μιας και αρχίσαμε με άρηττους
στέλνω αυτή την ανίσωση
Να δειχθεί ότι
$\sqrt[3]{\sqrt{26}+\sqrt{65}}\prec\sqrt{\sqrt{26}+\sqrt[3]{65}}\prec\sqrt{\sqrt[3]{26}+\sqrt{65}}$

Αυτό που μου αρέσει ποιό πολύ ειναι οι προεκτάσεις που πέρνει ένα θέμα μεσα απο την κουβέντα μέσα στο κλαμπ
και με κάνει να ανοίγω βιβλία και να κοιτάω με άλλο μάτι πράγματα
Νικο ,Μιχάλη,χρήστο ,Μπάμπη ,Αλέξανδρε Γρηγόρη
και όλα τα μέλη
Σας Ευχαριστώ πολύ

#2

Καταρχήν για την αριστερή ανισότητα αρκεί να δείξουμε ότι
$\sqrt[3]{\sqrt{26}+\sqrt{65}}<\sqrt{\sqrt[3]{26}+\sqrt[3]{65}} \ \ (1)$

Γενικά ισχύει το εξής

Λήμμα: Η συνάρτηση $f(x)=\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{\displaystyle\frac{1}{x}}$

είναι γνησίως αύξουσα για κάθε

με

.

Απόδειξη

Η παράγωγος της συγκεκριμένης συνάρτησης είναι $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{6x^{\frac{5}{6}}}-\frac{1}{6x^{\frac{5}{6}+2}}$ και το αποτέλεσμα του λήμματος έπεται.

Κάνοντας πράξεις στην (1)

καταλήγουμε στην σχέση $\displaystyle\left(\sqrt[6]{\frac{65}{26}}+\sqrt[6]{\frac{26}{65}}\right)>\frac{2}{3} \ \ (2)$ .

Όμως αφού 65>26

άρα $\displaystyle\frac{65}{26}>1$ άρα $f\left(\displaystyle\frac{65}{26}\right)>f(1)=2>\frac{2}{3}$ δηλαδή η (2)

ισχύει.

και τότε είναι φανερό ότι

$\sqrt{\sqrt[3]{26}+\sqrt[3]{65}} < \sqrt{\sqrt{26}+\sqrt[3]{65}}$

Επίσης για να δείξουμε το δεξί μέλος θα δείξουμε το εξής

Λήμμα: Η συνάρτηση $f(x)=\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}$ είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε $x>\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^6$

Απόδειξη

Η παράγωγος της συγκεκριμένης συνάρτησης είναι $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$ η οποία είναι αρνητική για $x>\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^6$ .

Επιστροφή στην άσκηση:

Άρα λοιπόν επειδή $65>26>\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^6$ , παίρνουμε

$f(65)<f(26) \Longleftrightarrow \sqrt[3]{65}-\sqrt{65} < \sqrt[3]{26}-\sqrt{26} \Longleftrightarrow \sqrt[3]{65}+\sqrt{26} < \sqrt[3]{26}+\sqrt{65}$ συνεπώς το ζητούμενο.

Ελπίζω να μην έχασα κάπου

Φιλικά,
Αλέξανδρος

#3

rastaffari έγραψε: Να δειχθεί ότι
$\sqrt[3]{\sqrt{26}+\sqrt{65}}\ <\sqrt{\sqrt{26}+\sqrt[3]{65}}\ <\sqrt{\sqrt[3]{26}+\sqrt{65}}$

Πολύ ενδιαφέρουσα η λύση του Αλέξανδρου γιατί δείχνει το τρόπο να ανακαλύπτει κανείς και άλλες παρεμφερείς ανισώσεις.

Γράφω μια πιο μαθητική λύση. Βασίζεται σε εκτιμήσεις των ριζών με οδηγό τις αυτονόητες
$\sqrt{25}=5$ , $\sqrt{64}=8$ , $\sqrt[3]{27}=3$ , $\sqrt[3]{64}=4$ .

Επίσης θα αποδείξω και μία ακόμη ανίσωση, εμβόλιμη μεταξύ των δύο πρώτων όρων.
Θα δούμε ότι ισχύει
$\sqrt[3]{\sqrt{26}+\sqrt{65}}\ < \sqrt{\sqrt[3]{26}+\sqrt[3]{65}}\ <\sqrt{\sqrt{26}+\sqrt[3]{65}}\ <\sqrt{\sqrt[3]{26}+\sqrt{65}}$

Είναι
$\sqrt{\sqrt[3]{26}+\sqrt{65}}\ > \sqrt{2+8}= \sqrt{10}$ ,
$\sqrt{\sqrt{26}+\sqrt[3]{65}}\ < \sqrt{5,5+4,5}\ = \sqrt{10}$ ,

οπότε αποδεικνύεται η δεξιά ανίσωση.

Επίσης
$\sqrt{\sqrt{26}+\sqrt[3]{65}}\ > \sqrt{5+4}\ = 3$ ,
$\sqrt{\sqrt[3]{26}+\sqrt[3]{65}}\ <\sqrt{3+5} \ < 3$
και
$\sqrt{\sqrt[3]{26}+\sqrt[3]{65}}\ >\sqrt{2,8+4}=\sqrt{6,8} \ > 2,5$ ,
$\sqrt[3]{\sqrt{26}+\sqrt{65}}\ < \sqrt[3]{5,1+8,1}=\sqrt[3]{13,2}\ < 2,4$

και λοιπά.

Οι τελευταίες θέλουν λίγο πιο προσεκτική εκτίμηση γιατί οι ακριβείς τιμές είναι κοντινές (περί το 2,642 και 2,361 αντίστοιχα.)

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

ανίσωση με ριζικά

ανίσωση με ριζικά

Re: ανίσωση με ριζικά

Re: ανίσωση με ριζικά

Μέλη σε σύνδεση