περιοδική συνάρτηση

[chris_gatos]

Καλησπέρα!
Δίνεται η συνάρτηση f: R-{0}->R για την οποία ισχύει:
f(x+1)f(x)+f(x+1)+1=f(x) για κάθε χ στο R.
Να αποδείξετε οτι η f είναι περιοδική.

Y.Γ
Αν μπορεί να δώσει κάποιος συνάδελφος τον ορισμό της περιοδικής συνάρτησης ή να διευκρινήσει για ποιόν λόγο
υπάρχει αυτή η διαφορά στους ορισμούς απο εγχειρίδιο σε εγχειρίδιο (εννοώ άλλο ορίζει T>0,άλλο Τ στο R).

[Mihalis_Lambrou]

Υπόδειξη: Λύσε ως προς f(x+1) συναρτήσει του f(x).
Εφάρμοσε αναδρομικά τον τύπο που θα βρείς για να προσδιορίσεις διαδοχικά
τα f(x+2), f(x+3) και λοιπά. Μετά από λίγο θα ξαναβρείς το f(x). Αν έκανα σωστά τις πράξεις, θα βρείς f(x+4) = f(x).

Πράγματι οι ορισμοί της περιοδικότητας αλλάζουν από βιβλίο σε βιβλίο. Συνήθως (αλλά όχι πάντα) οι ορισμοί είναι ισοδύναμοι. Αυτό που πρέπει να προσεχθεί είναι ότι το x+T πρέπει να είναι πάλι στο πεδίο ορισμού της f. Αυτό σημαίνει ότι θα είναι στο πεδίο ορισμού και τα
x+kT (*). Γι' αυτό ορισμένοι συγγραφείς απαιτούν μόνο Τ > 0 οπότε η (*) ισχύει για k στο Ν, αλλιώς μπαίνουν και τα k στο Z, που δημιουργούν προβλήματα.

Ολόψυχα, καλό διάβασμα για τον ΑΣΕΠ.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

[chris_gatos]

Eυχαριστώ πολύ κύριε Λάμπρου.Να'στε καλά!

[k-ser]

Εύκολα, με άτοπο, αποδεικνύεται ότι
και

Είναι:
και
Άρα δηλαδή η f είναι περιοδική με περίοδο Τ=4.

Χρήστο,
γενικά αν μια συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο Τ τότε θα έχει περίοδο οποιονδήποτε από τους αριθμούς κΤ με κ . Αυτό, αποδεικνύεται εύκολα - επαγωγικά.
Έτσι, όταν λέμε περίοδο Τ μιας περιοδικής συνάρτησης, συνήθως αναφερόμαστε στον ελάχιστο από τους θετικούς αριθμούς κΤ, κ , για τους οποίους ισχύει: f(x+kT)=f(x) και βέβαια εφόσον . Αυτόν τον αριθμό Τ τον λέμε και βασική περίοδο της f.

Έγραφα την απάντησή μου, όταν ήδη απάντησε ο Μιχάλης.... Γράφω και λίγο αργά μιας και τώρα μαθαίνω τις εντολές Latex!

Καλό Σαββατόβραδο.

[chris_gatos]

Ευχαριστώ κύριε Σερίφη!Απλά μου έκανε τρομερή εντύπωση η...ποικιλία στους ορισμούς!
Θέλει προσοχή το θέμα...