Ακεραιότητα σε κάθε θέση

KARKAR · #1

: Ακεραιότητα σε κάθε θέση.png (14.04 KiB) Προβλήθηκε 767 φορές

Το ημικύκλιό μας κέντρου O(0,0)

έχει ακέραια ακτίνα και διάμετρο

στον

.

Σημείο

βρίσκεται στο εσωτερικό του ημικυκλίου και έχει ακέραιες συντεταγμένες .

Η

τέμνει το τόξο στο

. Εξετάστε αν και το γινόμενο $AS\cdot SP$ είναι ακέραιος !

#2

KARKAR έγραψε:Ακεραιότητα σε κάθε θέση.pngΤο ημικύκλιό μας κέντρου έχει ακέραια ακτίνα και διάμετρο στον .

Σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του ημικυκλίου και έχει ακέραιες συντεταγμένες .

Η τέμνει το τόξο στο . Εξετάστε αν και το γινόμενο $AS\cdot SP$ είναι ακέραιος !

Έστω

, $\displaystyle{a,b \in {\mathbb{N}^*}}$ . Είναι: $\displaystyle{AS \cdot SP = {R^2} - S{O^2} = {R^2} - {a^2} - {b^2} \in {\mathbb{N}^*}}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Φέρνουμε την

και από το

κάθετη στην

, που την τέμνει στο

. Έστω ότι AC=y, SC=x, BC=z

και

. Προφανώς τα x, y

και

είναι ακέραια. Ταυτόχρονα ισχύει ότι $AS=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . Ακόμη τα τρίγωνα APB

και

είναι όμοια. Έχουμε:

$\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+w}{y}=\frac{y+z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+w\sqrt{x^{2}+y^{2}}=y^{2}+yz\Leftrightarrow w\sqrt{x^{2}+y^{2}}=yz-x^{2}$

Όμως $w\sqrt{x^{2}+y^{2}}=AS\cdot SP$ και $yz-x^{2}$ είναι ακέραιος, καθώς x, y

και

ακέραιοι, συνεπώς $AS\cdot SP$ πάντα ακέραιος!

#4

KARKAR έγραψε:Ακεραιότητα σε κάθε θέση.pngΤο ημικύκλιό μας κέντρου έχει ακέραια ακτίνα και διάμετρο στον .

Σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του ημικυκλίου και έχει ακέραιες συντεταγμένες .

Η τέμνει το τόξο στο . Εξετάστε αν και το γινόμενο $AS\cdot SP$ είναι ακέραιος !

Έστω

η αρχή των αξόνων και $A( - a,0)\,\,,\,\,B(a,0)\,\,\mu \varepsilon \,\,a \in \mathbb{Z}$ . Ακόμα $S(u,v)\,\,\mu \varepsilon \,\,\,u,v \in \mathbb{Z}$ .

: Ακεραιότητα σε κάθε θέση.png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 742 φορές

$AS \cdot SP = \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {SP} = \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {SB} \in \mathbb{Z}$ γιατί τα διανύσματα $\overrightarrow {AS} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow {SB}$ έχουν ακέραιες συντεταγμένες.

Φιλικά Νίκος

Ακεραιότητα σε κάθε θέση

Ακεραιότητα σε κάθε θέση

Re: Ακεραιότητα σε κάθε θέση

Re: Ακεραιότητα σε κάθε θέση

Re: Ακεραιότητα σε κάθε θέση

Μέλη σε σύνδεση