Συναρτήσει δύο πλευρών

KARKAR · #1

: Συναρτήσει δύο πλευρών.png (10.29 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

Το ύψος

και η διχοτόμος

του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , τέμνονται στο

.

Υπολογίστε - συναρτήσει δύο μόνο πλευρών ( όποιων θέλετε ! ) - το μήκος του

.

Εφαρμογή : AB=8 , AC=6

#2

Το τρίγωνο ASE

είναι ισοσκελές με κορυφή το

, έχει δε γωνίες :

$\boxed{\widehat {EAS} = C\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {ASE} = \widehat {AES} = B + \frac{C}{2}}$ όπου B,C

οι οξείς γωνίες του $\vartriangle ABC$ .

: Συναρτήσει δύο πλευρών.png (12.66 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

Από το νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο αυτό έχουμε :

$\dfrac{{SE}}{{\sin C}} = \dfrac{{AE}}{{\sin (B + \dfrac{C}{2})}} = \dfrac{{AE}}{{\sin (90^\circ - \dfrac{C}{2})}} = \dfrac{{AE}}{{\cos \dfrac{C}{2}}}$ και άρα

$SE = (2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{C}{2})\dfrac{{AE}}{{\cos \dfrac{C}{2}}} = 2AE\sin \dfrac{C}{2}$ , αλλά ${\sin ^2}\dfrac{C}{2} = \dfrac{{1 - \cos C}}{2} = \dfrac{{a - b}}{{2a}}$ άρα

$SE = \dfrac{{2bc}}{{a + b}}\sqrt {\dfrac{{a - b}}{{2a}}} = \dfrac{{2b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{{(a + b)}}\sqrt {\dfrac{{a - b}}{{2a}}} = \dfrac{{2b(a - b)\sqrt {a + b} }}{{(a + b)\sqrt {2a} }}$ .

#3

KARKAR έγραψε:Συναρτήσει δύο πλευρών.pngΤο ύψος και η διχοτόμος του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , τέμνονται στο .

Υπολογίστε - συναρτήσει δύο μόνο πλευρών ( όποιων θέλετε ! ) - το μήκος του .

Εφαρμογή :

: Συναρτήσει δύο πλευρών.png (10.23 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

$\displaystyle{A\widehat SE = A\widehat ES = {90^0} - \frac{{\widehat C}}{2} \Rightarrow AS = AE = \frac{{bc}}{{a + b}}}$ και $\displaystyle{\cos \omega = \cos C = \frac{b}{a}}$

$\displaystyle{{x^2} = 2A{E^2}(1 - \cos \omega ) \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{2{b^2}{c^2}}}{{{{(a + b)}^2}}} \cdot \frac{{a - b}}{a}\mathop \Leftrightarrow \limits^{{c^2} = {a^2} - {b^2}} }$ $\boxed{x = \frac{{b(a - b)\sqrt {2a(a + b)} }}{{a(a + b)}}}$

#4

Η αμιγώς γεωμετρική λύση .

Το τρίγωνο AES

είναι ισοσκελές με κορυφή το

γιατί οι γωνίες του στα $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$

είναι κάθε μια ίση με $\widehat \theta + \widehat \omega$ ( εξωτερικές στα $\vartriangle ASC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle BEC$ ). Η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

και ή

είναι διχοτόμος στο ADB

Θα είναι

$\left\{ \begin{gathered} \vartriangle ABC \approx \vartriangle ADB \hfill \\ \vartriangle ABT \approx \vartriangle AES \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Συναρτήσει δύο πλευρών_new.png (17.14 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές

Από την πρώτη ομοιότητα έχω , $\dfrac{{AE}}{{EB}} = \dfrac{{DT}}{{TB}}$ λόγω των ομολόγων διχοτόμων και

άρα $\dfrac{{DT}}{{TB}} = \dfrac{b}{a} \Rightarrow \boxed{DT = \frac{{b(a - b)}}{a}}\,\,(1)$ Από τη δεύτερη ομοιότητα έχω

$\dfrac{{SE}}{{AT}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{c}{{a + b}} \Rightarrow \boxed{SE = \frac{{\sqrt {a - b} \sqrt {a + b} }}{{a + b}}TA}\,\,\,(2)$

Επειδή το ύψος $AD = \dfrac{{bc}}{a}$ από το Π. Θ. στο τρίγωνο DAT

έχω :

$A{T^2} = A{D^2} + D{T^2} = \dfrac{{{b^2}{c^2} + {b^2}{{(a - b)}^2}}}{{{a^2}}}$ ο αριθμητής γράφεται :

${b^2}({a^2} - {b^2} + {(a - b)^2}) = {b^2}(a - b)2a$ και έτσι η (2)

δίδει :

$\boxed{SE = \frac{{b(a - b)\sqrt {2a(a + b)} }}{{a(a + b)}}}$

#5

Άλλη μία αμιγώς γεωμετρική.

: Συναρτήσει δύο πλευρών.II.png (11.33 KiB) Προβλήθηκε 740 φορές

Φέρνω

$\displaystyle{C{E^2} = ab\left( {1 - \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}} \right) \Leftrightarrow }$ $\boxed{CE = \frac{{b\sqrt {2a(a + b)} }}{{(a + b)}}}$ (1)

$\displaystyle{\frac{x}{y} = \frac{{AS}}{{AD}} = \frac{a}{{a + b}},\frac{y}{{CE}} = \frac{{BD}}{a} = \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}}}$ απ' όπου με απαλοιφή του

και από την (1)

προκύπτει:

$\boxed{x = \frac{{b(a - b)\sqrt {2a(a + b)} }}{{a(a + b)}}}$

KARKAR · #6

: Συναρτήσει δύο πλευρών.png (11.3 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

Από Π.Θ. στο ACE

, βρίσκω : $CE=\dfrac{b\sqrt{2a(a+b)}}{a+b}$ (1). Επίσης είναι : $\dfrac{CD}{DB}=\dfrac{b^2}{c^2} , \dfrac{BA}{AE}=\dfrac{a+b}{b}$ .

Το θεώρημα Μενελάου στο CEB

, με διατέμνουσα ASD

, δίνει $\dfrac{b^2}{c^2}\cdot \dfrac{a+b}{b}\cdot \dfrac{SE}{SC}=1$ , οπότε :

$\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{a-b}{b}$ , άρα : $\dfrac{SE}{CE}=\dfrac{a-b}{b}$ και λόγω της (1) , τελικά : $SE=\dfrac{b(a-b)\sqrt{2a(a+b)}}{a(a+b)}$

Συναρτήσει δύο πλευρών

Συναρτήσει δύο πλευρών

Re: Συναρτήσει δύο πλευρών

Re: Συναρτήσει δύο πλευρών

Re: Συναρτήσει δύο πλευρών

Re: Συναρτήσει δύο πλευρών

Re: Συναρτήσει δύο πλευρών

Μέλη σε σύνδεση