Μαύρα και άσπρα τετραγωνάκια

#1

Βάφουμε καθένα από τα

τετραγωνάκια ενός $4\times 4$ τετραγώνου είτε άσπρο είτε μαύρο. Κατόπιν μπορούμε να επιλέξουμε οποιοδήποτε $2\times 2$ ή οποιοδήποτε $3\times 3$ υποτετράγωνο και να αλλάξουμε τα χρώματα όλων των κελιών του. Επαναλάβουμε αυτή την διαδικασία όσες φορές θέλουμε.
Δείξτε ότι υπάρχουν αρχικές καταστάσεις από τις οποίες δεν μπορούμε να καταλήξουμε σε μονόχρωμο $4\times 4$ τετράγωνο.

Σχόλιο: Έχουμε δει στο φόρουμ διάφορα τέτοια προβλήματα που τα αντιμετωπίζουμε με μία αναλλοίωτη. Η λύση που έχω στον νου μου για το παραπάνω είναι σε άλλο μήκος κύματος. Βασίζεται σε διαφορετική ιδέα.

#2

Μπορούμε να εργαστούμε στο $\mathbb{F}_2^{16}$ όπου μας δίνονται μόνο 9+4

διανύσματα. Προφανώς δεν παράγουν τον χώρο άρα υπάρχουν καταστάσεις που δεν μπορούν να πάνε στην κατάσταση όπου όλα είναι χρωματισμένα άσπρα. Άρα ούτε και στην κατάσταση όπου όλα είναι μαύρα. (Αφού από το «όλα μαύρα» μπορούμε εύκολα να πάμε στο «όλα άσπρα».)

Διαφορετικά, αποφεύγοντας τα ανώτερα μαθηματικά:

Για κάθε $2 \times 2$ ή $3 \times 3$ τετράγωνο αποφασίσουμε αν θα αλλάξουν τα χρώματά του ή όχι. Δεν παίζει ρόλο η σειρα που θα το κάνουμε αυτό. Επίσης αλλαγή π.χ. στο ίδιο τετράγωνο

φορές ισοδυναμεί με καμία αλλαγή κ.τ.λ. Έχουμε

τετράγωνα $2 \times 2$ και

τετράγωνα $3 \times 3$ . Συνολικά

τετράγωνα και άρα $2^{13}$ διαφορετικούς τρόπους να κάνουμε αλλαγές.

Όμως υπάρχουν $2^{16}$ διαφορετικές καταστάσεις. Άρα κάποιες από αυτές δεν λαμβάνονται αν ξεκινήσουμε από το τετράγωνο όπου είναι όλα άσπρα. Ισοδύναμα, από κάποιες καταστάσεις δεν μπορούμε να φτάσουμε στο τετράγωνο όπου όλα είναι άσπρα. Άρα ούτε και στην κατάσταση όπου όλα είναι μαύρα.

Επεξεργασία: Αρχικά αντί μονόχρωμο σκεφτόμουν «όλα άσπρα». Έκανα τις απαραίτητες διορθώσεις.

#3

Ας δούμε και την αναλλοίωτη:

Χρωματίζω τα τετραγωνάκια όπως πιο κάτω. (Προσοχή: Δεν είναι αυτή η αρχική κατάσταση που δεν καταλήγει σε μονόχρωμο.) Ονομάζω τα μαύρα τετραγωνάκια πλευρικά για προφανείς λόγους.

Κάθε φορά αλλάζει το χρώμα άρτιου αριθμού πλευρικών τετραγώνων. Αν λοιπόν ξεκινήσω από περιττό πλήθος μαυρισμένων πλευρικών τετραγώνων τότε αυτό θα είναι πάντα περιττό και άρα θα έχω πάντα και άσπρα και μαύρα πλευρικά τετράγωνα. Δεν θα καταλήξω λοιπόν ποτέ σε μονόχρωμη κατάσταση.

$\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \clip(-0.7,-0.48) rectangle (4.68,4.6); \fill[line width=2.pt,fill=black,fill opacity=1.0] (0.,3.) -- (1.,3.) -- (1.,1.) -- (0.,1.) -- cycle; \fill[line width=2.pt,fill=black,fill opacity=1.0] (1.,4.) -- (1.,3.) -- (3.,3.) -- (3.,4.) -- cycle; \fill[line width=2.pt,fill=black,fill opacity=1.0] (3.,3.) -- (3.,1.) -- (4.,1.) -- (4.,3.) -- cycle; \fill[line width=2.pt,fill=black,fill opacity=1.0] (1.,1.) -- (1.,0.) -- (3.,0.) -- (3.,1.) -- cycle; \draw [line width=1.2pt] (0.,0.)-- (0.,4.); \draw [line width=1.2pt] (0.,4.)-- (4.,4.); \draw [line width=1.2pt] (4.,4.)-- (4.,0.); \draw [line width=1.2pt] (4.,0.)-- (0.,0.); \draw [line width=1.2pt] (1.,0.)-- (1.,4.); \draw [line width=1.2pt] (2.,4.)-- (2.,0.); \draw [line width=1.2pt] (3.,0.)-- (3.,4.); \draw [line width=1.2pt] (0.,3.)-- (4.,3.); \draw [line width=1.2pt] (4.,2.)-- (0.,2.); \draw [line width=1.2pt] (0.,1.)-- (4.,1.); \draw [line width=1.2pt] (0.,3.)-- (1.,3.); \draw [line width=1.2pt] (1.,3.)-- (1.,1.); \draw [line width=1.2pt] (1.,1.)-- (0.,1.); \draw [line width=1.2pt] (0.,1.)-- (0.,3.); \draw [line width=1.2pt] (1.,4.)-- (1.,3.); \draw [line width=1.2pt] (1.,3.)-- (3.,3.); \draw [line width=1.2pt] (3.,3.)-- (3.,4.); \draw [line width=1.2pt] (3.,4.)-- (1.,4.); \draw [line width=1.2pt] (3.,3.)-- (3.,1.); \draw [line width=1.2pt] (3.,1.)-- (4.,1.); \draw [line width=1.2pt] (4.,1.)-- (4.,3.); \draw [line width=1.2pt] (4.,3.)-- (3.,3.); \draw [line width=1.2pt] (1.,1.)-- (1.,0.); \draw [line width=1.2pt] (1.,0.)-- (3.,0.); \draw [line width=1.2pt] (3.,0.)-- (3.,1.); \draw [line width=1.2pt] (3.,1.)-- (1.,1.); \end{tikzpicture}$

Μαύρα και άσπρα τετραγωνάκια

Μαύρα και άσπρα τετραγωνάκια

Re: Μαύρα και άσπρα τετραγωνάκια

Re: Μαύρα και άσπρα τετραγωνάκια

Μέλη σε σύνδεση