παραβολικός πολλαπλασιασμός

[exdx]

Βρήκα επιτέλους με τι ισούται το

[Mihalis_Lambrou]

Τέτοιου είδους πράξεις με γραφική παράσταση είναι το αντικείμενο της Νομογραφίας.

Για τους περισσότερους η Νομογραφία είναι άγνωστος ή ξεχασμένος κλάδος. Γι' αυτό ακριβώς πριν από περίπου χρόνια είχα δώσει ως θέμα στην μεταπτυχιακή μου φοιτήτρια Καλλιόπη Περογιαννάκη να μαζέψει τα περί Νομογραφίας σε έναν τόπο. Το αποτέλεσμα ήταν η Διατριβή της με τίτλο

Νομογραφία: ένας ξεχασμένος κλάδος των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών

που μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ. Edit αργότερα: Προσθήκη άλλου λινκ γιατί το προηγούμενο φαίνεται προβληματικό: Πάτα εδώ.

Περίληψη από την Διατριβή: Η Νομογραφία είναι κλάδος των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και σχετίζεται με τη γραφική επίλυση μαθηματικών εκφράσεων και τύπων. Στο πρώτο κεφάλαιο, ορίζουμε τη νομογραφία και αφηγούμαστε μια σύντομη ιστορία της. Στα τέλη του 19 αι. ο Philbert Maurice D’ Ocagné μελετώντας τη γεωμετρική αναμόρφωση του Léon Lalanne όρισε τη νομογραφία και την κατέστησε ξεχωριστό κλάδο των Μαθηματικών. Στο δεύτερο κεφάλαιο, μελετάμε νομογραφήματα που χρησιμοποιούμε για να εκτελέσουμε τις πράξεις αριθμών όπως τον γραμμικό συνδυασμό και τον πολλαπλασιασμό δύο ή περισσοτέρων αριθμών, τη δύναμη ενός αριθμού και τις εφαρμογές τους στην Ευκλείδεια Γεωμετρία (Πυθαγόρειο Θεώρημα και το εμβαδόν ενός τριγώνου με δεδομένα τις πλευρές και την περιεχόμενη γωνία του). Στο τρίτο κεφάλαιο, μελετάμε εξισώσεις πρώτου μέχρι και πέμπτου βαθμού με χρήση νομογραφημάτων και μια γενική μέθοδο επίλυσής τους οποιουδήποτε βαθμού. Στο τέταρτο κεφάλαιο, περιγράφουμε νομογραφήματα επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων και την εξίσωση του Kepler. Στο πέμπτο κεφάλαιο, περιγράφουμε νομογραφήματα τα οποία επιλύουν τρίγωνα στην επίπεδη και στη σφαιρική γεωμετρία καθώς και εφαρμογές τους στην αστρονομία και στη ναυσιπλοΐα. Στο επόμενο κεφάλαιο, καταγράφουμε έτοιμα νομογραφήματα διαφόρων τύπων που είναι ιδιαίτερα χρήσιμα σε άλλες επιστήμες όπως την επίλυση συστήματος δυο εξισώσεων με δύο αγνώστους ενώ στο τελευταίο κεφάλαιο, γίνεται μια σύντομη αναφορά στα στερεά νομογραφήματα τα οποία επιλύουν τις μαθηματικές εκφράσεις και τους τύπους των προηγούμενων κεφαλαίων. Στο τέλος της εργασίας, παρατίθεται ένα παράρτημα το οποίο περιλαμβάνει έτοιμα παραδείγματα των παραπάνω νομογραφημάτων.

[kkala]

Νομογραφήματα ήσαν σε ευρεία χρήση και σε τεχνικές εφαρμογές (π.χ. πτώση πίεσης λόγω τριβών σε οριζόντιους σωλήνες) ή, καταχρηστικά, σε απεικόνιση φυσικών δεδομένων (π.χ. τάση ατμών πολλών συγγενών ουσιών συναρτήσει θερμοκρασίας). Σε κάποιες περιπτώσεις υλοποιούσαν και τις αποκλίσεις από τους μαθηματικούς τύπους (που απεικόνιζαν το φαινόμενο), ήσαν δηλαδή ακριβέστερα αυτών. Τώρα πια είναι αναμνήσεις, φαίνεται ότι τα "έφαγε" η ψηφιακή εποχή, και (κατά δεύτερο λόγο) το γεγονός ότι πολλά χρησιμοποιούσαν αγγλοσαξωνικές μονάδες. Υπάρχουν βέβαια και λίγες εξαιρέσεις, π.χ. βρίσκεται στο διαδίκτυο το διάγραμμα κατανομής Rosin- Ramler (Weibule distribution) για την κοκκομετρία κονιοποιημένων ορυκτών.
Το πλεονέκτημα των παραπάνω νομογραφημάτων ήταν ότι είχες αίσθηση της πορείας της εργασίας και των μεγεθών, θα μπορούσες να "πιάσεις" μια παράμετρο που ξέφευγε. Η ακρίβεια ήταν ίδια με του αριθμητικού υπολογισμού, διότι η εκτίμηση με το μάτι από αυτά έδινε συνήθως τόση ακρίβεια όση πρόβλεπαν και οι σχετικοί τύποι για το φαινόμενο. Το τελευταίο δεν ισχύει βέβαια στα νομογραφήματα που βασίζονται σε καθαρά μαθηματικά.
'Ενα (όχι σοβαρό) μειονέκτημα του νομογραφήματος ήταν ότι διαφορετικοί χρήστες έδιναν ελαφρώς διαφορετικό αποτέλεσμα, ανάλογα με την τιμή που έβλεπαν σ' αυτό.
Δεν μπόρεσα να κατεβάσω την εργασία της Περογιαννάκη κλικάροντας "προβολή εγγράφου" (win 10 σε Mac). Ισως μνημονεύεται εκεί μέθοδος (παρόμοια με της #1, exdx) γραφικής επίλυσης εξίσωσης 2ου βαθμού που θυμάμαι να αναφέρει ο Ν. Δ. Νικολάου στη "Μεγάλη Στοιχειώδη 'Αλγεβρα" (σε έκδοση μεταγενέστερη της Α! - 1932). Η γράφεται σαν , οπότε οι πραγματικές λύσεις απεικονίζονται από τις τομές (αν υπάρχουν) της καμπύλης με την ευθεία . Παρόμοια και για εξισώσεις ανωτέρου βαθμού.
Άλλη εποικοδομητική περίπτωση από το Λύκειο είναι η γραφική λύση συστήματος δύο πρωτοβαθμίων εξισώσεων με δύο αγνώστους, όπου η λύση βρίσκεται στην τομή των δύο ευθειών των εξισώσεων.
Δεν είναι τυχαίο ότι η υποκατάσταση με λογισμικό των γραφικών λύσεων (ακόμα και σε στατική/μηχανική, όπως τη δίδασκε π.χ. ο καθηγητής ΕΜΠ Αγγελος Καλογεράς, 1903-70) συνέπεσε με την υποβάθμιση του μαθήματος της Ευκλείδιας Γεωμετρίας.

[Mihalis_Lambrou]

Δεν μπόρεσα να κατεβάσω την εργασία της Περογιαννάκη κλικάροντας "προβολή εγγράφου" (win 10 σε Mac).

Βλέπε τότε εδώ.

Το έλεγξα και από εδώ κατεβαίνει χωρίς πρόβλημα.

Συγγνώμη για την ταλαιπωρία.

Ας προσθέσω ότι ο νομογραφικός πολλαπλασιασμός όπως στο αρχικό ποστ του Γιώργου παραπάνω, είναι στις σελίδες 22-23 της διατριβής.

[kkala]

Θερμές ευχαριστίες, κατέβηκε χωρίς πρόβλημα το διδακτορικό της Περογιαννάκη, χρήσιμο για κάθε ένα που θέλει να απομυθοποιήσει τα σχεδόν "μαγικά" νομογραφήματα ή να κατασκευάσει ένα νέο. Βέβαια το τελευταίο φαντάζει σήμερα σπάνιο. Ανασκοπώντας πάντως τεχνικά βιβλία που ακόμα κυκλοφορούν (και "handbooks") μπορεί να βρούμε μέσα (ή στο παράρτημα) νομογραφήματα, βολικά για μια γρήγορη εκτίμηση.
Πράγματι η περίπτωση της #1 αναφέρεται από την Περογιαννάκη στο κεφάλαιο 2.3 (κάπως διαφορετικά). Η λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης στο κεφ. 3.2 είναι διαφορετική από τα λεγόμενα στο #3 (kkala). Και δικαίως, διότι το #3 αναφέρεται σε γραφική λύση της εξίσωσης, όχι σε νομογράφημα.
Όσον αφορά τα στερεά νομογραφήματα (Κεφ 7), πολλά (και επιτυχημένα) μπορεί να δεί κανείς στα βιβλία Μεταλλογνωσίας του καθηγητή ΕΜΠ Κωνσταντίκου Κονοφάγου (1912-89), αν και τα ονομάζει τρισδιάστατα διαγράμματα.

[Mihalis_Lambrou]

... το διδακτορικό...

Προσοχή, δεν είναι Διδακτορικό! Είναι Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, δηλαδή αντιστοιχεί σε αυτό που στο εξωτερικό ονομάζεται Master.

Ένα Διδακτορικό απαιτεί ΠΟΛΥ περισσότερο υλικό, και πρέπει κατά βάση να είναι πρωτότυπη εργασία και συμβολή στον κλάδο. Αντιθέτως, στις Μεταπτυχιακές Διπλωματιές επιτρέπεται συνθετική εργασία, και ο βαθμός πρωτοτυπίας μπορεί να είναι πιο περιορισμένος.

Οφείλω να το ξεκαθαρίσω αυτό διότι ήμουν ο επιβλέπων Καθηγητής της εν λόγω Διπλωματικής, οπότε δεν θα ήθελα να αποκομίσει κανείς την αίσθηση ότι (την κατά τα άλλα άριστη αυτή εργασία) την πέρασα ως Διδακτορικό.

[kkala]

Δεν γνώριζα ότι χορηγούνται πλέον πτυχία τύπου Masters και στην Ελλάδα. Τούτο είναι ωφέλιμη εξέλιξη. Από ότι αντιλαμβάνομαι, η χώρα μας πονάει περισσότερο σε πρακτικά θέματα εφαρμογής. To διδακτορικό απαιτεί κάποιες φορές πολλά έτη για να ολοκληρωθεί, το (τύπου) Masters μπορεί να είναι προτιμότερο σαν μια πρακτική λύση εμβάθυνσης σε κάτι, πριν την επαγγελματική καριέρα.