Ψηφία και Απόλυτες Τιμές

mick7 · #1

Έστω τετραψήφιος ABCD με όλα τα ψηφία του διαφορετικά από 1-9. Να βρείτε τον μεγαλύτερο και μικρότερο τετραψήφιο που σχηματίζεται από τον εξής παράσταση...δηλαδή κάθε ψηφίο του νέου τετραψήφιου είναι η απολυτή τιμή της διαφοράς των άλλων δυο.

$\displaystyle \mid A-B\mid\mid B-C\mid\mid C-D\mid \mid D-A\mid$

Manolis Petrakis · #2

Λάθος λύση

mick7 · #3

Έστω τετραψήφιος ABCD με όλα τα ψηφία του διαφορετικά από 1-9

Manolis Petrakis έγραψε: Τρί Νοέμ 03, 2020 4:29 pm Έστω ότι $\displaystyle \mid A-B\mid\mid B-C\mid\mid C-D\mid \mid D-A\mid=9999$ τότε $|A-B|=9\Leftrightarrow A=9,B=0$ και $|B-C|=|C-D|=|D-A|=9\Leftrightarrow |-C|=|C-D|=|D-9|=9\Rightarrow A=C=9,B=D=0$
Άρα για τον τετραψήφιο ο αριθμός παίρνει τη μέγιστη τιμή του
•Είναι $2/ \displaystyle \mid A-B\mid +\mid B-C\mid +\mid C-D\mid + \mid D-A\mid$ άρα είναι αδύνατον ο νέος τετραψήφιος να ισούται με
Έτσι έστω ότι $\displaystyle \mid A-B\mid\mid B-C\mid\mid C-D\mid \mid D-A\mid=1001$ όπου ο μικρότερος δυνατός νέος τετραψήφιος.
Έτσι για $A\pm 1=B=C=D$ ο νέος τετραψήφιος είναι ίσος με (δηλαδή η ελάχιστη τιμή του)

Manolis Petrakis · #4

(Λόγω βιασύνης το διορθώνω και δεύτερη φορά)
Το μέγιστο του $\displaystyle \mid A-B\mid\mid B-C\mid\mid C-D\mid \mid D-A\mid$ δίνεται για $|A-B|_{max}\Rightarrow |A-B|=8$ και A=9,B=1

*
Το μέγιστο του |1-C|

δίνεται για C=8

( αφού $C\neq A=9$ ). Το μέγιστο του |C-D|=|8-D|

είναι προφανώς το

για

(διότι $D\neq B=1$ )
Έτσι για ABCD=9182

δίνεται η μέγιστη τιμή του νέου τετραψήφιου (8767)

*Εργαζόμενοι με όμοιο τρόπο για A=1,B=9

προκύπτει ο αριθμός 1928

για τον οποίο βρίσκουμε το ίδιο μέγιστο
Για το ελάχιστο του $\displaystyle \mid A-B\mid\mid B-C\mid\mid C-D\mid \mid D-A\mid$
Είναι $|A-B|=min\Leftrightarrow A=B+1$ *
$|B-C|=min\Leftrightarrow B=C+1$ (Αν ήταν $B=C-1\Rightarrow A=C$ άτοπο)
$|C-D|=min\Leftrightarrow C=D+1$ ομοίως με το προηγούμενο)
$\Rightarrow |D-A|=3$
$\Rightarrow( \displaystyle \mid A-B\mid\mid B-C\mid\mid C-D\mid \mid D-A\mid)_{min}=1113$
*Θα μπορούσαμε να θέσουμε A=B-1

και αμέσως μετά B=C-1,C=D-1,D=A+3

από όπου πάλι προκύπτει το ίδιο ελάχιστο

mick7 · #5

από 1-9

Manolis Petrakis έγραψε: Τρί Νοέμ 03, 2020 6:17 pm
Το μέγιστο του $\displaystyle \mid A-B\mid\mid B-C\mid\mid C-D\mid \mid D-A\mid$ δίνεται για $|A-B|_{max}\Rightarrow |A-B|=9$ και
Το μέγιστο του δίνεται για ( αφού $C\neq A=9$ ). Το μέγιστο του είναι προφανώς το για (διότι $D\neq B=0$ )
Έτσι για δίνεται η μέγιστη τιμή του νέου τετραψήφιου
Για το ελάχιστο του $\displaystyle \mid A-B\mid\mid B-C\mid\mid C-D\mid \mid D-A\mid$
Είναι $|A-B|=min\Leftrightarrow A=B+1$ *
$|B-C|=min\Leftrightarrow B=C+1$ (Αν ήταν $B=C-1\Rightarrow A=C$ άτοπο)
$|C-D|=min\Leftrightarrow C=D+1$ ομοίως με το προηγούμενο)
$\Rightarrow |D-A|=3$
$\Rightarrow( \displaystyle \mid A-B\mid\mid B-C\mid\mid C-D\mid \mid D-A\mid)_{min}=1113$
*Θα μπορούσαμε να θέσουμε και αμέσως μετά