Κυβοτετράγωνο

KARKAR · #1

Συμπαθάτε με για την ( ατυχή ; ) επιλογή του παρόντος φακέλου , για τούτο το παράξενο θέμα :

Βρείτε τους ακεραίους a , b

για τους οποίους ισχύει : $\left(\dfrac{a}{2}\right)^3+\left(\dfrac{b}{2}\right)^3=\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}+9\right)^2$

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 28, 2022 10:02 pm Συμπαθάτε με για την ( ατυχή ; ) επιλογή του παρόντος φακέλου , για τούτο το παράξενο θέμα :

Βρείτε τους ακεραίους για τους οποίους ισχύει : $\left(\dfrac{a}{2}\right)^3+\left(\dfrac{b}{2}\right)^3=\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}+9\right)^2$

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά...

Η δοθείσα σχέση μετά από πράξεις γίνεται:

$\displaystyle{a^3+b^3-2a^2-4ab-72a-2b^2-72b-81=0 }$

ή ακόμα:

$\displaystyle{(a+b)[a^2-(b+2)a+(b^2-2b-72)]=81 \ \ (1)}$

Στη σχέση αυτή (1) το πρώτο μέλος είναι ένα γινόμενο δύο ακεραίων εφόσον $\displaystyle{a,b \in Z}$

Ο δεύτερος παράγοντας μπορεί να θεωρηθεί ώς ένα δευτεροβάθμιο τριώνυμο της μορφής:

$\displaystyle{ F(a)=a^2-(b+2)a+(b^2-2b-72), b \in Z \ \ (2) }$

Αυτό έχει ως διακρίνουσα την:

$\displaystyle{ D=(b+2)^2-4(b^2-2b-72)=-3b^2+12b+292, b \in Z \ \ (3)}$

Το τριώνυμο $\displaystyle{F(a)}$ για να έχει ακέραια ρίζα θα πρέπει εκτός των άλλων να έχει τη διακρίνουσα $\displaystyle{D}$

ως ένα τέλειο τετράγωνο. Επίσης η διακρίνουσα αυτή $\displaystyle{D=D(b) }$ για να είναι τέλειο τετράγωνο θα πρέπει

να έχει διακρινουσα $\displaystyle{D_1}$ ίση με μηδέν.

Όμως:

$\displaystyle{D_1=12^2-4\cdot (-3) \cdot 292=12^2+12 \cdot 292 >0 }$

Άρα ο δεύτερος αυτός παράγοντας για κάθε $\displaystyle{b \in Z}$ δεν δίνει ακέραια τιμή για το $\displaystyle{a}$ .

Έτσι το συμπέρασμα είναι ότι δεν υπάρχουν $\displaystyle{a,b \in Z }$ ώστε να ικανοποιείται η δοθείσα σχέση.

Παρατήρηση:

Στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήξουμε αν από την (1) θεωρήσουμε ότι:

$\displaystyle{a+b=\pm 1,\ \ \pm 3, \ \ \pm 9, \ \ \pm 27, \ \ \pm 81 }$

και στη συνέχεια λύσουμε την εξίσωση στο $\displaystyle{Z}$ το δεύτερο παράγοντα της (1).

Κώστας Δόρτσιος

Maria-Eleni Nikolaou · #3

KDORTSI έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 4:14 pm …
Η δοθείσα σχέση μετά από πράξεις γίνεται:

$\displaystyle{a^3+b^3-2a^2-4ab-72a-2b^2-72b-81=0 }$
…

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!

Μάλλον κάτι μου έχει ξεφύγει, αλλά βρίσκω: (a+b)(a^2-ab+b^2-2a-2b-72)=648

και μετά, αν δεν κάνω λάθος, προκύπτουν ακέραιες τιμές για τα a,b

.

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 28, 2022 10:02 pm Συμπαθάτε με για την ( ατυχή ; ) επιλογή του παρόντος φακέλου , για τούτο το παράξενο θέμα :

Βρείτε τους ακεραίους για τους οποίους ισχύει : $\left(\dfrac{a}{2}\right)^3+\left(\dfrac{b}{2}\right)^3=\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}+9\right)^2$

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 6:09 pm
KDORTSI έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 4:14 pm …
Η δοθείσα σχέση μετά από πράξεις γίνεται:

$\displaystyle{a^3+b^3-2a^2-4ab-72a-2b^2-72b-81=0 }$
…
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!

Μάλλον κάτι μου έχει ξεφύγει, αλλά βρίσκω:
και μετά, αν δεν κάνω λάθος, προκύπτουν ακέραιες τιμές για τα .

Καλησπέρα...

Ναι! Μαρία - Ελένη έχεις δίκιο!

Εγώ στη βιασύνη μου και στην απροσεξία μου έκανα λάθος και αντί του $\displaystyle{648}$ έγραψα $\displaystyle{81}$ .

Ύστερα από αυτό και σύμφωνα με την παρατήρηση μου στην αρχική ανάρτηση θεωρώντας ότι:

$\displaystyle{a+b=24}$ δηλαδή $\displaystyle{b=24-a}$

αφού ο $\displaystyle{648=2^3\cdot 3^4}$ και ο $\displaystyle{24}$ είναι ένας διαιρέτης του $\displaystyle{648}$ και στη συνέχεια

αντικαθιστώνας στην

$\displaystyle{(a+b)[a^2-ab+b^2-2(a+b)-72]=648 }$

βρίσκουμε εύκολα ότι:

$\displaystyle{(a,b)=(11,13),(13,11) }$

Δεν έχω χρόνο να δω και για άλλους διαιρέτες το τί ακριβώς συμβαίνει. Η μέθοδος αυτή βέβαια είναι κοπιώδης.

Ευχαριστώ για τα μηνύματα της αβλεψίας μου στο Μιχάλη Λάμπρου, στο Γιώργο Βισβίκη και στο θεματοδότη

Θανάση(KARKAR).

Μάλιστα ο Γιώργος Βισβίκης και ο Θανάσης μου είπαν ότι υπάρχουν οι ανωτέρω λύσεις και κατά συνέπεια

το συμπέρασμά μου ήταν αρχικά λάθος.

Κώστας Δόρτσιος

Κυβοτετράγωνο

Κυβοτετράγωνο

Re: Κυβοτετράγωνο

Re: Κυβοτετράγωνο

Re: Κυβοτετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση