Διψήφιου τετράγωνο και κύβος

#1

Δεν ξέρω τι λύση παρουσίασε η εφημερίδα ('Βήμα") στο πρόβλημα που μου ανέφερε φίλος, ας προσπαθήσουμε εδώ να την κάνουμε όσο το δυνατόν λιγότερο 'εξοντωτική' (κατά το exhaustive search):

Να βρεθεί ο μοναδικός ακέραιος με την εξής ιδιότητα: μαζί στο τετράγωνο του και στον κύβο του εμφανίζονται και τα δέκα ψηφία, ακριβώς μία φορά το καθένα.

[Ο

για παράδειγμα δεν έχει αυτήν την ιδιότητα, καθώς 73^2=5329

&

]

ksofsa · #2

Δίνω τον αριθμό σε hide.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ο αριθμός βρέθηκε με τη βοήθεια υπολογιστή.

#3

gbaloglou έγραψε: Πέμ Νοέμ 23, 2023 12:02 am Δεν ξέρω τι λύση παρουσίασε η εφημερίδα ('Βήμα") στο πρόβλημα που μου ανέφερε φίλος, ας προσπαθήσουμε εδώ να την κάνουμε όσο το δυνατόν λιγότερο 'εξοντωτική' (κατά το exhaustive search):

Να βρεθεί ο μοναδικός ακέραιος με την εξής ιδιότητα: μαζί στο τετράγωνο του και στον κύβο του εμφανίζονται και τα δέκα ψηφία, ακριβώς μία φορά το καθένα.

[Ο για παράδειγμα δεν έχει αυτήν την ιδιότητα, καθώς & ]

Μερικές παρατηρήσεις:

(α) Είναι βέβαιο ότι ο αριθμός $\displaystyle{A}$ που ζητάμε, είναι ανάμεσα στον $\displaystyle{47}$ και τον $\displaystyle{99}$ , αφού αν $\displaystyle{A<47}$ , τότε ο $\displaystyle{A^2}$
έχει το πολύ $\displaystyle{4}$ ψηφία και ο $\displaystyle{A^3}$ έχει το πολύ $\displaystyle{5}$ ψηφία, οπότε όλα μαζί τα ψηφία τους είναι το πολύ $\displaystyle{9}$ και όχι $\displaystyle{10}$
που θέλουμε. Επίσης, αν $\displaystyle{A>99}$ τότε οι αριθμοί $\displaystyle{A^2 , A^3}$ έχουν συνολικά τουλάχιστον $\displaystyle{12}$ ψηφία
Συνεπώς πρέπει $\displaystyle{47\leq A \leq 99}$

(β) Το ψηφίο των μονάδων του ζητούμενου αριθμού, αποκλείεται να είναι $\displaystyle{0 , 1 , 5 , 6}$ , αφού τότε οι αριθμοί $\displaystyle{A^2}$ και $\displaystyle{A^3}$
θα λήγουν σε $\displaystyle{0 , 1 , 5 , 6}$ ΄αντιστοίχως και άρα έχουν τουλάχιστον ένα ίδιο ψηφίο.
Έτσι καταλήγουμε ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι κάποιος από τους:
$\displaystyle{47 , 48 , 49 ,52 , 53 , 54 , 57 , 58 , 59 , 62 , 63 , 64 , 67, 68 , 69 , 72 , 73 , 74 , 77 , 78 , 79 , 82 83 84 , 87 , 88 , 89 , 92 , 93 , 94 , 97 , 98}$

(γ) Βρίσκουμε: $\displaystyle{47^2 = 2209}$ , άρα ο $\displaystyle{47}$ δεν μας κάνει, αφού έχει ίδια ψηφία.
Για τον ίδιο λόγο, δεν μας κάνουν και οι αριθμοί: $\displaystyle{58 , 62 , 63 , 67 , 68 , 77 , 83 , 88 , 92 , 97 }$
Έτσι , μένει να εξετάσουμε τους αριθμούς : $\displaystyle{48 , 49 , 52 , 53 , 54 , 57 , 59 , 64 , 69 , 72 , 73 , 74 , 78 , 79 , 82 , 84 , 87 , 89 , 93 , 94 , 98 , 99}$

(δ) Έχουμε : $\displaystyle{48^2 =2304}$ και παρατηρούμε ότι $\displaystyle{48^3 =92mod100}$ , δηλαδή ο $\displaystyle{48^3 }$ λήγει σε $\displaystyle{48}$ και άρα οι αριθμοί $\displaystyle{48^2 , 48^3}$
έχουν ένα τουλάχιστον ίδιο ψηφίο (το $\displaystyle{4}$ ) και άρα ο $\displaystyle{48}$ δεν μας κάνει.
Για τον ίδιο λόγο δεν μας κάνουν οι αριθμοί : $\displaystyle{49 , 52 , 53}$ , (όπου ο $\displaystyle{53^3}$ λήγει σε $\displaystyle{77}$ και άρα έχει ίδια ψηφία) , $\displaystyle{54}$ ,
$\displaystyle{57 , 64 , 72 , 74 , 84 , 89 , 92 , 94 , 98 , 99}$
Έτσι , μένει να εξετάσουμε τους αριθμούς: $\displaystyle{58 , 59 , 62 , 63 , 67 , 68 , 69 , 73 , 77 , 78 , 79 , 82 , 83 , 87 , 88 , 93 , 97}$

(ε) Με δοκιμές τώρα, βρίσκουμε ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο $\displaystyle{69}$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η πιο πάνω αντιμετώπιση, είναι προφανώς επίπονη, αφού ουσιαστικά απαιτεί να βρεθούν τα τετράγωνα $\displaystyle{32}$ διψήφιων αριθμών.
Αν κάποιο μέλος μας έχει υπόψιν του κάποια άλλη λιγότερο επίπονη λύση, θα έχει ενδιαφέρον να την δούμε.

mick7 · #4

Μια υπολογιστική αντιμετώπιση με το Wolfram Mathematica. O πινακας (Table..) ελέγχει όλους τους ακέραιους απο 10 μέχρι 99.

#5

Ας γράψουμε s(m)

για το άθροισμα των ψηφίων του

.

Αν $n \equi 1 \bmod 3$ , τότε $n^2 \equiv n^3 \equiv 1 \bmod 3$ , άρα $s(n^2) + s(n^3) \equiv 2 \bmod 3$ , άτοπο αφού s(n) + s(n^2) = 45

. Ομοίως απορρίπτονται οι $n \equiv 2,5 \bmod 9$ . Απορίπτοντας επίσης τους λήγοντες σε 0,1,5,6

μένει να ελέγξουμε τους

48,53,54,57,62,63,69,72,78,84,87,89,93,97,99

Λιγότεροι μεν από αυτούς του Δημήτρη αλλά πάλι θέλει αρκετή εργασία.

#6

Demetres έγραψε: Παρ Νοέμ 24, 2023 4:23 pm Ας γράψουμε για το άθροισμα των ψηφίων του .

Αν $n \equi 1 \bmod 3$ , τότε $n^2 \equiv n^3 \equiv 1 \bmod 3$ , άρα $s(n^2) + s(n^3) \equiv 2 \bmod 3$ , άτοπο αφού . Ομοίως απορρίπτονται οι $n \equiv 2,5 \bmod 9$ . Απορίπτοντας επίσης τους λήγοντες σε μένει να ελέγξουμε τους

Λιγότεροι μεν από αυτούς του Δημήτρη αλλά πάλι θέλει αρκετή εργασία.

Δημήτρη είχα καταλήξει σε 8 (στην πραγματικότητα 7) υποψήφιους -- εξηγώ παρακάτω πως -- και με τις δικές σου παραπάνω παρατηρήσεις καταλήγω σε 4 υποψήφιους (και κύβους), τους 93, 87, 78, 69.

Λοιπόν σκέφθηκα ως εξής: παίρνουμε τα τετράγωνα των διψήφιων ανάμεσα στον

(στην πραγματικότητα

) και

που δεν λήγουν σε 0, 1, 5, 6

και προφανώς κρατάμε αυτά που δεν έχουν επαναλαμβανόμενο ψηφίο. Στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε το τελευταίο ψηφίο του τετραγώνου με το τελευταίο ψηφίο του αριθμού, ώστε να λάβουμε το τελευταίο ψηφίο του κύβου, και αν αυτό υπάρχει ήδη στο τετράγωνο του τον αποκλείουμε ... καταλήγοντας στους 52, 82, 73, 93, 54, 84, 87, 78, 98, 49, 59, 69, 79.

Ακόμη καλύτερα, πολλαπλασιάζουμε τον διψήφιο με τα δύο τελευταία ψηφία του τετραγώνου του, ώστε να λάβουμε τα δύο τελευταία ψηφία του κύβου, και έτσι καταλήγουμε στους 73, 93, 87, 78, 59, 69, 79.

Από εδώ και πέρα ... από 1mod3

αποκλείονται οι 73, 79

και από

αποκλείεται ο 59.

Τα παραπάνω (πλην τελευταίας πρότασης) και γενικώς όλοι οι υπολογισμοί μού πήραν κάτι λιγότερο από δύο ώρες (σε ένα από τα αγαπημένα μου καφέ ύστερα από ένα ζόρικο μεσημέρι): η κύρια στρατηγική και κάποιοι υπολογισμοί φαίνονται στο συνημμένο. [Εκ παραδρομής έχει συμπεριληφθεί ο

, που θα έπρεπε να αποκλειστεί, όπως άλλωστε επισήμανε και ο Δημήτρης (Ιωάννου).] Πολλά τετράγωνα, λίγοι κύβοι

[Αφιερωμένο στην μνήμη της γιαγιάς μου Αντωνίας, που, αν και 'αμόρφωτη', πολλαπλασίαζε διψήφιο επί διψήφιο με τα δάκτυλα

(Η ίδια είχε κάποτε δώσει καραμέλες στην δασκάλα του πατέρα μου ... παρακαλώντας την να δίνει μία στο κάθε παιδί που απαντούσε σωστά μία ερώτηση της

)]

: δεκαψηφία.png (126.88 KiB) Προβλήθηκε 1451 φορές

Διψήφιου τετράγωνο και κύβος

Διψήφιου τετράγωνο και κύβος

Re: Διψήφιου τετράγωνο και κύβος

Re: Διψήφιου τετράγωνο και κύβος

Re: Διψήφιου τετράγωνο και κύβος

Re: Διψήφιου τετράγωνο και κύβος

Re: Διψήφιου τετράγωνο και κύβος

Μέλη σε σύνδεση