Διασκεδαστική αντιστροφή

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{a(x+b)}{x-b}$ , με : $a \neq b$ , θετικούς ακεραίους .

α) Βρείτε ( για τα

που ορίζεται ) την αντίστροφη $f^{-1}$ , της

.

β) Βρείτε κατάλληλες τιμές των a ,b

, ώστε τα σημεία τομής των γραφικών

παραστάσεων των $f ,f^{-1}$ , να έχουν ακέραιες συντεταγμένες .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 13, 2024 6:45 am Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{a(x+b)}{x-b}$ , με : $a \neq b$ , θετικούς ακεραίους .

α) Βρείτε ( για τα που ορίζεται ) την αντίστροφη $f^{-1}$ , της .

β) Βρείτε κατάλληλες τιμές των , ώστε τα σημεία τομής των γραφικών

παραστάσεων των $f ,f^{-1}$ , να έχουν ακέραιες συντεταγμένες .

α) Για να βρούμε το σύνολο τιμών, θέλουμε για δοθέν

να λύσουμε την $\dfrac{a(x+b)}{x-b}=y$ , ισοδύναμα (y-a)x=b(y+a)

. Aυτή για $y\ne a$ έχει πάντα λύση, την $x=\dfrac {b(y+a)}{y-a}$ . H λύση είναι $\ne b$ (άμεσο) άρα είναι στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Συνεπώς το σύνολο τιμών της

είναι το $\mathbb R-\{a\}$ , και σύμφωνα με τα προηγούμενα είναι $f^{-1}(y)=\dfrac {b(y+a)}{y-a}$ στο εν λόγω σύνολο.

β) Θέλουμε η λύση της $f(x) = f^{-1}(x)$ , δηλαδή η $\dfrac{a(x+b)}{x-b}= \dfrac {b(x+a)}{x-a}$ να έχει ακέραιες συντεταγμένες. Η εν λόγω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα x^2-(a+b)x-ab=0

(Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα). Έχει διακρίνουσα (a+b)^2 +4ab

, που θέλουμε να είναι τέλειο τετράγωνο, έστω c^2

. Είναι τότε (c+a+b)(c-a-b)=4ab

.

Δοκιμάζουμε $c+a+b=4b, \, c-a-b=a$ . Αφαιρώντας κατά μέλη βρίσκουμε 3a=2b

, οπότε

. Πίσω στην εξίσωση, δίνει c=7t

. Tώρα η αρχική δευτεροβάθμια γίνεται x^2-5tx-6t^2=0

, με (ακέραιες) ρίζες x=-t, x=6t

. Για αυτές τις τιμές τιμές των x,a,b

(ας πάρουμε π.χ. την x=t

) έχουμε

$f(x) = \dfrac{a(x+b)}{x-b} = \dfrac{2t(t+3t)}{t-3t}= -t$ (δεκτή για όλα τα ακέραια

).

Με άλλα λόγια για a=2t,b=3t

τα γραφήματα τέμνονται σε ακέραιο σημείο, το (-t,-t)

Αν κάνουμε το ίδιο για την άλλη ρίζα, την x=6t

, θα βρούμε αντίστοιχο

το

$f(x) = \dfrac{a(x+b)}{x-b} = \dfrac{2t(6t+3t)}{6t-3t}= 6t$ (δεκτή για όλα τα ακέραια

).
.

Σχόλιο: Η άσκηση δεν έχει ΚΑΜΙΑ ΣΧΕΣΗ με Διασκεδαστικά Μαθηματικά.
Καλό είναι να μην αποπροσανατολίζουμε τους μαθητές μας. Βρίσκονται στην ιερή διαδικασία της μάθησης, οπότε οφείλουμε να τους δώσουμε ακριβείς πληροφορίες για το εύρος κάθε κλάδου της υπέροχης επιστήμης μας. Το έχω επισημάνει πολλές φορές αυτό, π.χ. βλέπε
εδώ.
Τι θα έλεγε κανείς αν ονόμαζα Άλγεβρα την άσκηση που λέει, για παράδειγμα, να αποδείξουμε ότι τα σημεία της μεσοκαθέτου τμήματος ισαπέχουν από τα άκρα του. Φυσικά, θα αποπροσανατόλιζα. Άλλο τόσο δεν μπορώ να ισχυριστώ ότι η παραπάνω άσκηση Άλγεβρας, που είναι μεν ενδιαφέρουσα αλλά υπάρχει παρόμοια σε όλα τα βιβλία Άλγεβρας Α' Λυκείου ανά τον κόσμο, ανήκει στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Απλά, δεν ανήκει.
.

KARKAR · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Οκτ 13, 2024 6:00 pm
Η εν λόγω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα .

......................................................................

Με άλλα λόγια για τα γραφήματα τέμνονται σε ακέραιο σημείο, το

Αν κάνουμε το ίδιο για την άλλη ρίζα, την , θα βρούμε αντίστοιχο το

$f(x) = \dfrac{a(x+b)}{x-b} = \dfrac{2t(-6t+3t)}{-6t-3t}= \dfrac {2t}{3}$ (δεκτή για όλα τα ακέραια που είναι πολλαπλάσια του ).

Νομίζω ότι η σωστή εξίσωση είναι η : x^2-(a+b)x-ab=0

, με ρίζες : x=-t , x=6t

,

οπότε τα σημεία τομής είναι τα (6t , 6t)

και :

( σημεία της : y=x

) .

Για την παρατήρηση του Μιχάλη : Η αντίστροφη της :

$f(x)=\dfrac{7(x+17)}{x-17}$ , είναι η : $f^{-1}(x)=\dfrac{17(x+7)}{x-7}$ ( με τους κατάλληλους περιορισμούς ).

Υποθέτω ότι ενώ η λύση είναι σχετικά απλή , το αποτέλεσμα σκορπάει χαμόγελα ...

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 14, 2024 4:55 am Νομίζω ότι η σωστή εξίσωση είναι η :

Σωστά, είναι λάθος το πρόσημο που έγραψα. Έκανα την διόρθωση. ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ.

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 14, 2024 4:55 am Υποθέτω ότι ενώ η λύση είναι σχετικά απλή , το αποτέλεσμα σκορπάει χαμόγελα ...

Σωστά. Σκορπάει χαμόγελα ως απρόσμενο, αλλά αυτό δεν είναι αρκετός λόγος να ονομάσουμε "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" ολόκληρο το θέμα. Σχεδόν σε όλα τα Μαθηματικά σκορπάς ένα χαμόγελο με το αποτέλεσμα, όμως ο κλάδος "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" είναι οριοθετημένος και ευδιάκριτος. Σίγουρα δεν ανήκουν σε αυτόν οι υπόλοιποι κλάδοι των Μαθηματικών.

Γι' αυτό ανάρτησα εδώ τον κατάλογο των κλάδων των Μαθηματικών του κορυφαίου Mathematical Reviews όπου βλέπει κανείς 200

σελίδες κλάδων από τους οποίους τα Διασκεδαστικά Μαθηματικά είναι μόνο μία γραμμή στην σελίδα

.

Διασκεδαστική αντιστροφή

Διασκεδαστική αντιστροφή

Re: Διασκεδαστική αντιστροφή

Re: Διασκεδαστική αντιστροφή

Re: Διασκεδαστική αντιστροφή

Μέλη σε σύνδεση