Όλοι ακέραιοι

KARKAR · #1

: Όλοι ακέραιοι.png (9.45 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Το τρίγωνο AOC

έχει περίμετρο

και ακέραιες πλευρές . Εξηγήστε γιατί η κορυφή

έχει ακέραια τετμημένη .

Nikitas K. · #2

$\displaystyle \left | \overrightarrow{AO} \right | + \left | \overrightarrow{AC} \right | + \left | \overrightarrow{OC} \right | = 24 \Leftrightarrow \left | \overrightarrow{AO} \right | + \left | \overrightarrow{AC} \right | = 16\overset{\left | \overrightarrow{AO} \right |, \left | \overrightarrow{AC} \right |\in\mathbb{Z}}{\Leftrightarrow}\left | \overrightarrow{AO} \right |, \left | \overrightarrow{AC} \right |\in\left\{(1,15),(2,14),\dots,(15,1)\right\}$

$\left | \overrightarrow{AO} \right | = \sqrt{a^2+k^2}$

$\left | \overrightarrow{AC} \right | = \sqrt{a^2 -16a+k^2+64}$

Έστω $b\in\mathbb{Z}$ τέτοιο, ώστε $1 \leq b\leq 15$

$\displaystyle \begin{Bmatrix} \left | \overrightarrow{AO} \right | = 16-b \\ \left | \overrightarrow{AC} \right | = b \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \sqrt{a^2+k^2} = 16-b \\ \sqrt{a^2 + 16a + k^2 + 64} = b \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} a^2+k^2 = b^2 -32b+256 \\ a^2 + 16a+k^2+64 = b^2 \end{Bmatrix}$

$\displaystyle \Rightarrow 16a^2+64= 32b-256 \Leftrightarrow 16a^2= 32b-320\Leftrightarrow a = 2b-20\Leftrightarrow a\in\left\{-18,-16,\dots , 10\right\}$

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Μάιος 09, 2025 6:06 am Όλοι ακέραιοι.pngΤο τρίγωνο έχει περίμετρο και ακέραιες πλευρές . Εξηγήστε γιατί η κορυφή έχει ακέραια τετμημένη .

Αν

τότε

θετικός ακέραιος και με τριγωνική ανισότητα $\boxed{4<m<12}$

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {k^2} = {m^2} \hfill \\ {a^2} + {k^2} - 16a + 64 = {m^2} - 32m + 256 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{a=2(m-6)}$ που είναι ακέραιος και μάλιστα άρτιος.

Άρα, $\displaystyle a \in \left\{ { - 2,0,2,4,6,8,10} \right\}.$

KARKAR · #4

: αστεία έλλειψη.png (69.48 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

Μετατοπίζοντας το σχήμα

μονάδες αριστερά βρίσκουμε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής

. Ποιος είναι ;

Όλοι ακέραιοι

Όλοι ακέραιοι

Re: Όλοι ακέραιοι

Re: Όλοι ακέραιοι

Re: Όλοι ακέραιοι

Μέλη σε σύνδεση