Τι κρύβουν τα τρία κουτιά;

[Mihalis_Lambrou]

.

Τρία κουτιά.png (21.24 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές

.
Τρία κουτιά περιέχουν από τρεις μπάλες το καθένα. Σε κάθε κουτί υπάρχει από ένα χαρτί που γράφει το περιεχόμενό του. Δυστυχώς κάποιος ανακάτεψε τα χαρτιά και τώρα κανένα από αυτά δεν είναι στο σωστό κουτί. Ο κύριος Τζίνης επιλέγει ένα κουτί, αφαιρεί τυχαία μία μπάλα από αυτό και σημειώνει το χρώμα της, χωρίς να την επαναφέρει στο κουτί. Μετά επαναλαμβάνει την διαδικασία, όσες φορές χρειαστεί. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός από μπάλες που πρέπει να αφαιρέσει ο κύριος Τζίνης για να καθορίσει το περιεχόμενο του κάθε κουτιού;
(Διαγωνισμός Καγκουρό, προταθέν από την Βουλγαρία)

[abgd]

Τρία κουτιά περιέχουν από τρεις μπάλες το καθένα. Σε κάθε κουτί υπάρχει από ένα χαρτί που γράφει το περιεχόμενό του. Δυστυχώς κάποιος ανακάτεψε τα χαρτιά και τώρα κανένα από αυτά δεν είναι στο σωστό κουτί. Ο κύριος Τζίνης επιλέγει ένα κουτί, αφαιρεί τυχαία μία μπάλα από αυτό και σημειώνει το χρώμα της, χωρίς να την επαναφέρει στο κουτί. Μετά επαναλαμβάνει την διαδικασία, όσες φορές χρειαστεί. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός από μπάλες που πρέπει να αφαιρέσει ο κύριος Τζίνης για να καθορίσει το περιεχόμενο του κάθε κουτιού;
(Διαγωνισμός Καγκουρό, προταθέν από την Βουλγαρία)

Έστω μια μπάλα με λευκό χρώμα και μια μπάλα με μαύρο χρώμα.

Το τρίτο κουτί θα πρέπει να έχει τουλάχιστον μία μαύρη μπάλα :

Το πρώτο θα πρέπει να έχει τρεις λευκές ή δύο λευκές και μία μαύρη:

Το δεύτερο θα πρέπει να έχει τρεις λευκές ή δύο μαύρες και μία λευκή:

Επιλέγουμε το δεύτερο κουτί και αφαιρούμε δύο μπάλες.
1η Περίπτωση:
Αν επιλέξαμε τότε:
και το τρίτο κουτί δεν μπορεί να έχει δύο λευκές γιατί θα έπρεπε τότε το πρώτο να έχει μία μόνο λευκή. Έτσι θα είναι: και .
Αφαιρώντας από το κουτί μία μπάλα:

• Αν αυτή είναι λευκή τότε θα γνωρίζουμε τί έχουν όλα τα κουτιά:
  
  
  

• Αν αυτή όμως είναι μαύρη τότε θα χρειαστεί να αφαιρέσουμε και δεύτερη μπάλα από το κουτί αυτό και ίσως και τρίτη. Συνολικά δηλαδή 4 ή 5 μπάλες.

2η Περίπτωση:
Αν επιλέξαμε τότε, θα είμαστε τυχεροί αφού δεν χρειάζεται να αφαιρέσουμε άλλες μπάλες:

[Mihalis_Lambrou]

Επιλέγουμε το δεύτερο κουτί και αφαιρούμε δύο μπάλες.

Κώστα, σωστά. Και μάλιστα αποδεικνύεται ότι δεν θα χρειαστεί να τραβήξει άλλη μπάλα. Του αρκούν αυτές οι δύο.

Με άλλα λόγια δεν θα χρειαστεί

Αν αυτή όμως είναι μαύρη τότε θα χρειαστεί να αφαιρέσουμε και δεύτερη μπάλα από το κουτί αυτό και ίσως και τρίτη.

τρίτη μπάλα.

Το αφήνω για την ώρα, και θα επανέλθω αν χρειαστεί.

[abgd]

Μιχάλη μάλλον έχεις δίκιο... διάβασα απρόσεκτα την εκφώνηση. Το δεδομένο ότι ανακατεύτηκαν τα χαρτιά το "διάβασα" ανακατεύθηκαν οι
μπάλες!

Θα επανορθώσω!

[abgd]

Διόρθωση.

Έστω μια μπάλα με λευκό χρώμα και μια μπάλα με μαύρο χρώμα.

Το τρίτο κουτί θα πρέπει να έχει τουλάχιστον μία μαύρη μπάλα :

Το πρώτο θα πρέπει να έχει τρεις λευκές ή δύο λευκές και μία μαύρη:

Το δεύτερο θα πρέπει να έχει τρεις λευκές ή δύο μαύρες και μία λευκή:

Επιλέγουμε το δεύτερο κουτί και αφαιρούμε δύο μπάλες.
1η Περίπτωση:
Αν επιλέξαμε τότε:
και το τρίτο κουτί δεν μπορεί να έχει δύο λευκές γιατί θα έπρεπε τότε το πρώτο να έχει μία μόνο λευκή. Έτσι θα είναι: και .

2η Περίπτωση:
Αν επιλέξαμε τότε:

[Γιώργος Ρίζος]

Καλημέρα σε όλους. Ξαναγράφω την απάντηση του Κώστα, προσθέτοντας την αιτιολόγηση, γιατί επιλέγουμε το πακέτο Β.

17-01-2026 Διασκεδαστικά μαθηματικά.jpg (31.53 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές

Το κουτί Α έχει ΛΛΛ ή ΛΛΜ
Το κουτί Β έχει ΛΜΜ ή ΛΛΛ
Το κουτί Γ έχει ΛΜΜ ή ΛΛΜ

Αν επιλέξουμε το κουτί Α και τραβήξουμε δύο μπάλες, έχουμε τις περιπτώσεις:
ΛΜ, οπότε η 3η είναι Λ, άρα στο Β είναι ΛΛΛ και στο Γ είναι ΛΜΜ
ή
ΛΛ, οπότε δεν ξέρουμε αν η 3η μπάλα είναι Λ ή Μ.


Αν επιλέξουμε το κουτί Γ και τραβήξουμε δύο μπάλες, έχουμε τις περιπτώσεις:
ΛΛ, οπότε η 3η είναι Μ, άρα στο Α είναι ΛΛΛ και στο Β είναι ΛΜΜ
ή
ΜΜ, οπότε η 3η είναι Λ, άρα στο Α είναι ΛΛΜ και στο Β είναι ΛΛΛ
ή
ΛΜ, οπότε δεν ξέρουμε αν η 3η μπάλα είναι Λ ή Μ.


Αν επιλέξουμε το κουτί Β και τραβήξουμε δύο μπάλες, έχουμε τις περιπτώσεις:
ΛΛ, οπότε η 3η είναι Λ, άρα στο Γ είναι ΛΜΜ και στο Α είναι ΛΛΜ
ή
ΜΜ, οπότε η 3η είναι Λ, άρα στο Γ είναι ΛΛΛ και στο Α είναι ΛΛΛ
ή
ΛΜ, οπότε η 3η είναι Μ, άρα στο Γ είναι ΛΛΜ και στο Α είναι ΛΛΛ.

Οπότε επιλέγουμε το Β και με δύο μπάλες μπορούμε να βρούμε τις υπόλοιπες.