Τριπλή ακεραιότητα

[KARKAR]

Προ πάντων ακεραιότης.png (5.57 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές

Σχεδιάστε τετράγωνο με ακέραια πλευρά , στο οποίο να υπάρχει σημείο

της με ακέραιες συντεταγμένες , τέτοιο ώστε αν η μεσοκάθετος

του τέμνει την στο σημείο , αυτό να έχει επίσης ακέραιες συντεταγμένες .

[Mihalis_Lambrou]

Προ πάντων ακεραιότης.pngΣχεδιάστε τετράγωνο με ακέραια πλευρά , στο οποίο να υπάρχει σημείο

της με ακέραιες συντεταγμένες , τέτοιο ώστε αν η μεσοκάθετος

του τέμνει την στο σημείο , αυτό να έχει επίσης ακέραιες συντεταγμένες .

τριπλή ακ.png (11.23 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι. Να ένας: Βασικά εργαζόμαστε με το τρίγωνο της οικογένειας .

Με αρχή των αξόνων το , παίρνουμε . Εύκολα βλέπουμε ότι η μεσοκάθετος του είναι η

.

Τέμνει την , δηλαδή την στο . Συνεπώς το έχει ακέραιες συντεταγμένες για οποιαδήποτε επιλογή της μορφής .

[Mihalis_Lambrou]

της με ακέραιες συντεταγμένες

.
Στο προηγούμενο ποστ παρέβλεψα τον περιορισμό . Όμως με τετριμμένο τρόπο μπορούμε να το διευθετήσουμε αρχίζοντας με άλλο τρίγωνο, στην θέση του , χωρίς αλλαγή στην μέθοδο. Για παράδειγμα αν εργαστούμε με το , δηλαδή αν πάρουμε θα βγει . Οπότε τα κάνουν την δουλειά.

Σχόλιο: Ουσιαστικά είνα πολύ εύκολο να βρούμε με άμεσο τρόπο πληθώρα παραδειγμάτων. Ουσιαστικά δουλεύνοντας (ακόμη και) στην τύχη. Και αυτό διότι αν αρχίσουμε με τυχαία ρητά τότε επειδή οι εξισώσεις που λύνουμε είναι γραμμικές, θα βγει εξ ανάγκης με ρητές συντεταγμένες. Συνεπώς παίρνοντας ένα όμοιο σχήμα πολλαπλάσιάζοντας επί κατάλληλα μεγάλο φυσικό αριθμό, μπορούμε αμέσως να διώξουμε τους παρονομαστές. Tόσο απλά.


,

[KARKAR]

Στον τρόπο που είναι η μια επιλογή του Μιχάλη , τα μικρότερα νούμερα είναι αυτά του σχήματος .

LAMBROY.png (8.25 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές

Υπάρχει και τετράγωνο όπου όλες οι συντεταγμένες είναι αριθμοί μονοψήφιοι . Αναζητούνται

[Mihalis_Lambrou]

Υπάρχει και τετράγωνο όπου όλες οι συντεταγμένες είναι αριθμοί μονοψήφιοι . Αναζητούνται

.