Μυστήριος τομέας

KARKAR · #1

: Μυστήριος τομέας.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 794 φορές

Κατασκευάστε - με οποιοδήποτε τρόπο - έναν κυκλικό τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ , έτσι ώστε , ο κύκλος

ο οποίος εφάπτεται των ακτίνων και του τόξου , να έχει ως κέντρο το μέσο

της

.

#2

KARKAR έγραψε:Μυστήριος τομέας.pngΚατασκευάστε - με οποιοδήποτε τρόπο - έναν κυκλικό τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ , έτσι ώστε , ο κύκλος

ο οποίος εφάπτεται των ακτίνων και του τόξου , να έχει ως κέντρο το μέσο της .

Έστω

η ακτίνα του κυκλικού τομέα,

η ακτίνα του κύκλου και $A\widehat OB=2\theta$ .

: Μυστήριος τομέας.png (14.65 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές

$\displaystyle{{(R - r)^2} + M{A^2} = {R^2} \Leftrightarrow {r^2} - 2Rr + {R^2}{\sin ^2}\theta = 0 \Rightarrow }$ $\boxed{\frac{r}{R} = 1 - \cos \theta }$ (1)

$\displaystyle{\sqrt {{{(R - r)}^2} - {r^2}} = OH = \frac{{{{(R - r)}^2}}}{R} \Leftrightarrow {\left( {\frac{r}{R}} \right)^3} - 4{\left( {\frac{r}{R}} \right)^2} + 6\left( {\frac{r}{R}} \right) - 2 = 0}$ , απ' όπου παίρνουμε τη δεκτή ρίζα

$\boxed{\frac{r}{R} = \frac{1}{3}\left[ {4 - \frac{2}{{\sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 17}}}} + \sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 17}}} \right] \simeq 0,45631}$ και από την (1),

$\boxed{\cos \theta \simeq 0,54369}$

Μπορούμε λοιπόν να υπολογίσουμε τη γωνία του κυκλικού τομέα $\boxed{A\widehat OB \simeq {114,1296^0}}$

Δεν θα το έλεγα κατασκευή, αλλά τέλος πάντων...

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Αφού επιτρέπονται και αυτά:

Έστω

το σημείο επαφής του κύκλου με την

.

Έστω ακόμα $x=\widehat{MAO}$ .

Έχουμε πως η ακτίνα του κύκλου, έστω

,είναι ίση με R=MD

.

Όμως η ακτίνα του κυκλικού τομέα, έστω

, είναι ίση με $r=R+OM\Leftrightarrow OA=MD+OM$ .

Έχουμε ότι το τρίγωνο OMA

είναι ορθογώνιο, άρα:

$OA=MD+OM\Leftrightarrow OA^2=(MD+OM)^2$ $\Leftrightarrow OM^2+MA^2=MD^2+OM^2+2MD\cdot OM\Leftrightarrow$

$MA^2=MD^2+2MD\cdot OM\Leftrightarrow MD^2+DA^2=MD^2+2MD\cdot OM\Leftrightarrow$

$DA^2=2MD\cdot OM\Leftrightarrow 2\dfrac{MD^2}{DA^2}=\dfrac{MD}{OM}\Leftrightarrow$ $2\tan^2 x=\cos x\Leftrightarrow 2\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\cos x\Leftrightarrow$ $\cos x ^3=2\sin^2 x\Leftrightarrow \cos x ^3+2\cos^2x=2.$

Λύνουμε την παραπάνω εξίσωση και προσδιορίζουμε την τιμή του $\cos x$ , άρα "κατασκευάζουμε"

το κυκλικό τομέα.

Μυστήριος τομέας

Μυστήριος τομέας

Re: Μυστήριος τομέας

Re: Μυστήριος τομέας

Μέλη σε σύνδεση